Algebra Lineal

INSTITUTO TECNOLOGICO DE LEÓN

RANGEL GARCÍA CARLOS ALFREDO

MÁRQUEZ COLÍN ADRIÁN ODÍN

TRABAJO FINAL DE ALBEGRA LINEAL

ING. PABLO GREGORIO PEREZ CAMPOS

ÁLGEBRA LINEAL

ING. SISTEMAS COMPUTACIONALES

01/JUNIO/2012

ESPACIO VECTORIAL

Definición: Un Espacio Vectorial V sobre un campo F, es un conjunto de elementos, llamados vectores, en el que están definidas las operaciones siguientes.

1. Una operación llamada suma vectorial, la cual asocia a cualesquiera dos vectores a y b de V, un vector a + b en V, llamado la suma de a y b, y que satisface las condiciones siguientes:

a) Ley Conmutativa: a + b = b + a

b) Ley Asociativa: a + (b+c) = (a+b) +c

c) Existe un vector único 0 en V, llamado vesctor cero, tal que:

a + 0 = a , a Є V

d) Existe un vector único –a Є V, tal que: a + (-a) = 0

2. Una operación llamada multiplicación por escalar, la que asocia a un escalar c en F y a un vector a en V un vector c*a en V, llamado el producto de c y a, y que satisface lo siguiente:

a) 1 * a = a , a Є V

b) (c₁ * c₂) * a = c₁ (c₂a)

c) c(a + b) = ca + cb

d) (c₁ + c₂) a= c₁a + c₂ aa

SUBESPACIO VECTORIAL

Definición: Sea V un Espacio Vectorial sobre un Campo F. Un subespacio Vectorial de V es un subconjunto W de V el cual es en sí mismo un Espacio Vectorial sobre F con las operaciones de la suma de vectores y la multiplicación por escalares definidas en V.

COMBINACIÓN E INDEPENENCIA LINEAL

Definición: Sean a₁, a₂, …, an y bЄs V, si existen, c₁, c₂ … cn Єs F, de tal forma que:

b = c₁a₁ + c₂a₂ + … + cnan

se dice que el vector b es una combinación lineal de los vectores a₁, a₂, … an.

INDEPENDENCIA LINEAL

Definición: Los vectores no nulos a₁, a₂, …, an elementos de V sobre F, son linealmente independientes si y sólo si:

c₁a₁ + c₂a₂ + … + cnan = 0

implica que:

c₁ = c₂ = … = cn = 0 , c Є F

los vectores que no satisfacen la definición anterior son linealmente independientes.

BASE Y DIMENSIÓN DE ESPACIO VECTORIAL

Base: Una base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan a V.

El conjunto de los siguientes vectores elementos de En:

Є₁ = (1, 0, 0, … ,0)

Є₂ = (0, 1, 0, … , 0)

Є₃ = (0, 0, 1, … , 0)

.

.

.

Єn = (0, 0, 0, … , 1)

forman una base muy especial llamada base estándar y es la que genera a En.

Sean:

c₁, c₂, c₃, … , cn Єs F

a = c₁Є₁ + c₂Є₂ + … + cnЄn

= (c₁,c₂, …, cn)

Por esta razón, los vectores Є₁ forman un sistema generatriz de En.

Ahora:

a = 0 ↔ c₁ = c₂ = … = cn = 0

por lo que los vectores son linealmente independientes.

Por tanto, forman una base que genera a En.

Teorema:

Sean a₁, a₂, … , an una base de Vn(F), entonces cualquier vector de Vn(F) se puede expresar de una y sólo una forma:

b = c₁a₁ + c₂a₂ + … + cnan

Donde ci Є F

Demostración:

Sea b = c₁a₁ + c₂a₂ + … + cnan y supóngase que b también se puede expresar como:

b = d₁a₁ + d₂a₂ + … + dnan

Por tanto:

c₁a₁ + c₂a₂ + … + cnan =

d₁a₁ + d₂a₂ + … + dnan

entonces:

(c₁ – d₁)a₁ + (c₂ – d₂)a₂ + … + (cn – dn)an = 0

Como los vectores ai son una base, son, por consiguiente, linealmente independientes; por lo que:

c₁ – d₁ = 0 ; c₂ – d₂ = 0 ; … ;cn – dn = 0

De donde:

c₁ = d₁ , c₂ = d₂ ,… , cn = dn

TEOREMAS RELATIVOS A LAS BASES

Es relativamente sencillo demostrar cada uno de los siguientes teoremas, cuyos conceptos son útiles en el manejo de los vectores.

Las demostraciones se omitirán.

Teoremas:

1. Dos bases cualesquiera que generan el mismo Espacio Vectorial constan del mismo número de elementos.

2. Si una base consta de n elementos, cualquier subconjunto de esta base será linealmente independiente, y cualquier conjunto de m > n elementos será linealmente dependiente.

Dimensión: la dimensión de un Espacio Vectorial V es igual al máximo número de vectores linealmente independientes contenidos en V.

La notación Vn(F) simboliza un espacio vectorial V de dimensión n definido sobre un campo F.

PRODUCTO INTERIOR

Definición: el producto interior, sobre un espacio vectorial V en F es una función σ, cuyo dominio es V x V y contradominio un subconjunto de F, y que satisface las condiciones siguientes.

a) σ(α + β, δ) = σ(α, δ) + σ(β, δ)

b) σ(cα, β) = σc(α, β) = σ(α, c β)

c) σ(α, β) = σ(β, α)

d) σ(α, α) > 0 , si α ≠ 0

a las propiedades a) y b) se les llama de linealidad, a la c), de simetría y a la d) de positividad.

En el Espacio Vectorial Euclidiano, el producto interior tiene la siguiente definición.

Definición: Sean a = (α₁, α₂, α₃, … , αn) y β = (β₁, β₂, β₃, …, βn) vectores de En.

Sea σ una función cuyo dominio es En x En contradominio los números reales, entonces:

σ (a, β) =

TRANSFORMACIONES LINEALES

En este capítulo se estudiaran ciertas funciones llamadas transformaciones lineales y se establecerá una conexión entre las transformaciones lineales y las matrices. Al igual que las matrices se pueden sumar, multiplicar entre ellas, y multiplicar por un escalar, veremos que se pueden definir operaciones similares para las transformaciones

...