Aplicaciones De Integrales Dobles En La Agroindustria

Aplicación de la integral definida a la mecánica

Se quiere fabricar un molde para barras de hierro cuyo diámetro sea de 5m y de una longitud de 15m. Para la fabricación de estos lingotes se somete al método de fundición, el cual consiste en pasar el hierro del estado sólido al líquido, que posteriormente será vaciado al molde. Por lo tanto se necesita conocer cuál es la cantidad de hierro que se vaciara en el molde una vez que éste esté listo. Necesitamos entonces conocer el volumen del molde.

SÍNTESIS:

1. En base a los datos obtenemos la ecuación: x2+ y2= 6.25, y despejamos a y obteniendo y=6.25-x2.

2. Esta será nuestra función a integrar: 6.25-x2, y procedemos a dibujar el triángulo para ubicar la función.

3. Aplicamos la fórmula del cos x y buscamos a x y dx.; x=2.5cosx, dx=-2.5sen dx

4. Sustituimos estos valores en la función 6.25-x2 y aplicando identidades trigonométricas obtenemos: 2.5senx

5. El valor obtenido será igual a la función de la integral, por lo tanto sustituimos 2.5 senx en lugar de la función y nos hace más sencilla la integral

6.Nuestra nueva integral es: 2.5 senx dx=2.5 senx-2.5 senx dx=6.25 sen2x dx

7. Sacamos a la constante dejando únicamente a: sen2x dx

8. Al integrar esto será el resultado será: (12x-14sen 2x) y sustituimos los valores de x y del sen 2x que

en este caso serían 2.5 y -5 respectivamente.

9. Multiplicamos esto por la constante que es 6.25 y nuestra área será igual a 9.31m2. Para conocer el volumen solo multiplicamos por la altura del molde que sería 15m.

Comentario: El problema propuesto trata el cálculo de un molde para lingotes de hierro de la que se quiere conocer la capacidad del molde para ser llenado.

Para la resolución del problema se tiene en cuenta los métodos de integración aunque no se explique la totalidad de ellos, en este caso las integrales se aplican en el área mecánica, con lo cual se contextualiza en la vida real.

Según lo visto en clase para hacer los cálculos hubo de haberse descompuesto ciertas formulas para llegar a establecer una integral y proceder a resolverla.

Una de las formas más sencillas para resolver este problema es por sustitución trigonométrica la cual primero debemos ubicarnos en un triangulo rectángulo para poder hacer uso de las identidades trigonométricas. Para poder hacer uno de las identidades trigonométricas debemos de tomar en cuenta que identidad es más conveniente para que sea más fácil de resolver una integral.

Otro medio más que nos sirve para resolver este problema es de forma directa en donde la operación de las integrales es de una forma o secuencia más rápida y sencilla de realizar estas integrales.

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