Apuntes de Integración numerica
Enviado por Mora Olmos Adriana • 24 de Mayo de 2022 • Apuntes • 1.385 Palabras (6 Páginas) • 44 Visitas
Integración numérica
La integral de una función se puede ver como el área bajo la curva definida por dicha función y en algunos está definida en un intervalo determinado
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Sin embargo, sí podemos aproximar la integral de una función o de un conjunto de datos experimentales si se encuentra estos se encuentran definidos un intervalo específico
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Métodos numéricos empleados
- Método del trapecio (regla simple o compuesta)
- Método de Simpson 1/3 (regla simple o compuesta)
- Método de Simpson 3/8 (regla simple o compuesta)
Regla del trapecio simple para funciones continuas
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Regla del trapecio simple para función discreta o datos tabulados o datos experimentales
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x | y | i |
0 | 13.2 | 1 |
2 | 14.5 | 2 |
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Regla del trapecio compuesta
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Generalizando para n subintervalos (n trapecios):
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Regla del trapecio compuesta para funciones continuas
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Regla del trapecio compuesta para funciones discretas
- N= Número de datos
- n= Número de subintervalos (N-1)
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Ejemplo 1
Calcular la integral de la siguiente función y sus aproximaciones con el método del trapecio con n=1, 2, 5 y 100, en el intervalo de [1, 2]. Comparar los resultados obtenidos de las aproximaciones por medio del error porcentual.
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syms x vt=int(exp(-x^2),1,2); vt=double(vt)
% METODO DEL TRAPECIO f=inline('exp(-x^2)'); a=1; b=2; h=b-a; va= h/2 * ( f(a) + f(b) ) e=abs( (vt-va) / vt ) * 100
%n=2 h=(b-a)/2; va=h/2*( f(a) + 2*f(a+h) + f(b) ) e=abs( (vt-va) / vt ) * 100
%n=100 n=100; h=(b-a)/n; acum= 0; for i=1:n-1 acum=acum+ f(a+i*h); end va=h/2* ( f(a) + 2*acum + f(b) ) e=abs( (vt-va) / vt ) * 100 |
Ejemplo 2
Se obtuvieron los datos del flujo de agua que corría por una tubería cada 10 segundos, hasta 1 minuto, los datos recabados se encuentran en la siguiente tabla.
- Calcular el volumen de agua que fluyo por la tubería los primeros 10 s.
[pic 24]
- Calcular el volumen total de agua que fluyo por la tubería durante el minuto completo.
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t (s) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
F (L/s) | 0.3 | 0.29 | 0.34 | 0.32 | 0.27 | 0.3 | 0.34 |
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a)
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b)
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Sólo se pueden aplicar las reglas compuestas si h se mantiene constante.
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Cada que vea un subíndice en las fórmulas en Matlab lo escribo entre paréntesis. (Indica la posición en el vector)
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t=0:10:60; y=[0.3 0.29 0.34 0.32 0.27 0.3 0.34];
h=10; N=length(t);
acum=0; for i=2:N-1 acum=acum + y(i); end
V=h/2 * ( y(1) + 2*acum + y(N) ) |
Método de Simpson 1/3
[pic 34]
Regla de Simpson 1/3 simple para funciones continuas
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Regla de Simpson 1/3 simple para funciones discretas
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Regla de Simpson 1/3 compuesta para funciones continuas
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Restricción - n debe ser par (número de subintervalos)
Regla de Simpson 1/3 compuesta para funciones discretas
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[pic 42]
Restricción - N-1 debe ser par (Número de datos)
Ejemplo 3
Calcular la integral de la siguiente función y sus aproximaciones con el método de Simpson 1/3 con n=2, 6 y 100, en el intervalo de [1, 2]. Comparar los resultados obtenidos de las aproximaciones por medio del error porcentual.
[pic 43]
syms x vt=int(exp(-x^2),1,2); vt=double(vt)
f=inline('exp(-x^2)'); a=1; b=2;
%Metodo de Simpson 1/3 (SIMPLE) h=(b-a)/2;
va= h/3 * ( f(a) + 4*f(a+h) + f(b) ) e=abs( (vt-va) / vt ) * 100
%Regla compuesta Simpson 1/3 n=100; h=(b-a)/n;
s1=0; %La primer suma s2=0; %La segunda suma for i=1:n-1 if rem(i,2)==0 %ES PAR s2 = s2 + f(a+i*h); else %NO ES PAR s1 = s1 + f(a+i*h); end end
va=h/3 * ( f(a) + 4*s1 + 2*s2 + f(b) ) e=abs( (vt-va) / vt ) * 100 |
Ejemplo 4
Se obtuvieron los datos del flujo de agua que corría por una tubería cada 10 segundos, hasta 1 minuto, los datos recabados se encuentran en la siguiente tabla.
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