Clasificación de las Matrices.
Enviado por • 28 de Mayo de 2014 • Tareas • 1.308 Palabras (6 Páginas) • 443 Visitas
2.3.- Clasificación de las Matrices.
Una matriz cuadrada tiene un número de filas p igual a su número de columnas q.
Son matrices de orden, p x p ó p2.
Las matrices:
A = 2 0 B = 0 2 3
-3 1 -1 0 2
0 0 0
son de orden 2 x 2 y 3 x 3 respectivamente.
Los elementos a11, a22, a33, ... ann de una matriz cuadrada constituyen su diagonal principal.
La diagonal principal será:
a11 ... ... ...
A = ... a22 ... ...
... ... a33 ...
... ... ... ann
una matriz cuadrada tal que:
a11 = a22 = a33 = .... = ann = 1 y todos los demás elementos son cero, es una matriz unidad.
La representaremos por I o sea:
IA = 1 0
• 1
es una matriz de orden 2 x 2.
Una matriz diagonal es aquella en que los elementos que no están en la diagonal principal son ceros.
Esta es un matriz diagonal:
2 0 0 0
A = 0 3 0 0
0 0 -2 0
0 0 0 4
Una matriz cuyos elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son todos ceros es matriz triangular. Si todos los ceros están por encima de la diagonal principal entonces es una matriz inferior y si todos los ceros están por debajo de la diagonal principal es una matriz superior.
Ejemplo:
A = 3 0 0 es una matriz inferior.
1 2 0
-1 0 4
B = 4 1 -2
0 1 5 es una matriz superior.
0 0 3
Esquema de filas, columnas y diagonal principal.
1 0 4 7 filas
A = 0 2 5 8
0 3 6 9
1 2 1 0 diagonal principal
columnas
Una matriz nula tiene todos sus elementos nulos.
Ejemplo:
0 0 0
A = 0 0 0
0 0 0
Una matriz cuadrada es simétrica si: aij = aji.
Es decir si los elementos situados a igual distancia de su diagonal principal son iguales.
A = 1 -3 5
-3 2 0
5 0 1
es simétrica porque: a12 = a21 = -3, a13 = a31 = 5, a23 = a32 = 0.
Una matriz es asimétrica si: aij = aji.
Observa si 1 = j, aii = -aii y el único número que cumple con esta igualdad es el cero por lo que es una matriz asimétrica la diagonal principal esta formada por elementos nulos.
En una matriz asimétrica los elementos situados a igual distancia de la diagonal principal son iguales en valor absoluto y de signos contrarios.
B = 0 2 -2 5
-2 0 3 6
2 -3 0 -1
-5 6 1 0
es una matriz asimétrica
Matriz escalar
Si tenemos una matriz diagonal cuyos elementos que están en la diagonal principal son todos iguales entonces tenemos una matriz escalar.
A = 3 0 0
0 3 0
0 0 3
Matriz identidad
Es toda matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad.
Esta matriz se representa por 1n.
12 = 1 0
• 1
igualdad de matrices si y solo si tienen el mismo orden y sus elementos son iguales.
Ejemplo:
A = a b B = x y
c d z w
si en estas matrices a = x, b = y, c = z y d = w, entonces las matrices A y B son iguales.
Matriz transpuesta
Si tenemos una matriz (A) cualquiera de orden m x n entonces su transpuesta es otra matriz (A) de orden n x m donde se intercambian las filas y las columnas de la matriz (A).
Ejemplo:
Si A = 4 -1 3
0 5 -2
entonces su traspuesta será:
At = 4 0
-1 5
2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.
La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuación.
Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los n´umeros de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer n´umero distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.
Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades:
...