Conjuntos Dependientes E Independientes En Un Espacio Lineal
Enviado por beekiller0591 • 3 de Abril de 2013 • 543 Palabras (3 Páginas) • 825 Visitas
Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal
DEFINICIÓN. Un conjunto S de elementos de un espacio lineal V se llama
dependiente si existe un conjunto finito de elementos distintos de S, Xl> ••• , xi,
y un correspondiente conjunto dé escalares c1, ••• , es, no todos cero, tales que
kI
c.x¡ = O.
i=l
El conjunto S se llama independiente si no es dependiente. En tal caso, cualesquiera
que sean los elementos distintos X¡, .•• , x« de S y los escalares c., ... , ci,
implica C1 = C2 = ... = Ck = O.
Si bien la dependencia y la independencia son propiedades de los conjuntos
de elementos, podemos también aplicar esas denominaciones a los elementos
mismos. Por ejemplo, los elementos de un conjunto independiente se llaman elementos
independientes.
Si S es un conjunto finito, la definición anterior está de acuerdo con la dada
en el Volumen 1 para el espacio Vn• No obstante, la definición dada aquí no está
restringida a conjuntos finitos.
EJEMPLO 1. Si un subconjunto T de un conjunto S es dependiente, el mismo
S es dependiente. Esto es lógicamente equivalente a la afirmación de que todo
subconjunto de un conjunto independiente es independiente.
EJEMPLO 2. Si un elemento de S es el producto de otro por un escalar, S
es dependiente.
EJEMPLO 3. Si O E S. entonces S es dependiente
EJEMPLO 4. El conjunto vacío es independiente.
En el Volumen 1 fueron discutidos muchos ejemplos de conjuntos dependientes
e independientes. Los ejemplos que a continuación se comentan, ilustran esos
conceptos en espacios funcionales. En cada caso el espacio lineal fundamental V
es el conjunto de todas las funciones reales definidas en la recta real.
EJEMPLO 5. Sean u,(t) = ces" t , u2(t) = sen" t, u,,(t) = 1 para todo número
real t. La identidad pitagórica prueba que u, + U2 - U3 = O, así que las tres
funciones
...