Distribución De Probabilidad

DISTRIBUCIÓN GAMMA

Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias continuas con asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α,β) de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma F(α), responsable de la convergencia de la distribución.

Los parámetros de la distribución

El primer parámetro alpha sitúa la máxima intensidad de probabilidad, en algunas fuentes se denomina “la forma” de la distribución exponencial. Cuando se toman valores más grandes de alpha al centro de la distribución se desplaza a la derecha va apareciendo la forma de una campana de Gauss con asimetría positiva. Es el segundo beta el que determina la forma o alcance de esta asimetría positiva desplazando la densidad de probabilidad en la cola de la derecha. Para valores elevados de beta, la distribución acumulada más densidad de probabilidad en el extremo derecho de la cola, alargando mucho su dibujo y dispersando la probabilidad a lo largo del plano. Al dispersar la probabilidad la altura máxima de densidad de probabilidad se va reduciendo; de aquí que se le denomine “escala”. Valores más pequeños de beta conducen a una figura más simétrica y concentrada, con un pico de densidad de probabilidad más elevado.

Una forma de interpretar beta es “tiempo promedio entre ocurrencia de un suceso”. Relacionándose con el parámetro de la Poisson como β= 1/λ. Alternativamente λ será el ratio d ocurrencia: λ= 1/β.

La expresión de la distribución Gamma incluye la propia función Gamma F(α), que para valores enteros de alpha se ha demostrado que F(α) =(α-1)!, en este caso la distribución Gamma se conoce como “distribución de Erlag”.

Para valores no enteros, el valor de la función Gamma se obtiene a partir de,

La función de densidad de la distribución Gamma es,

Donde x>0 y β, α son parámetros positivos.

Se puede ver que para α= 1 la función de densidad será,

Lo que significa que una distribución Gamma de parámetro α= 1 y β=0 es una distribución exponencial de parámetro α= 1.

Se demuestra que f(x) es una función de densidad porque para f(x) 0 .

La función de distribución es,

La esperanza matemática será, siendo h=1/β

Volviendo a β;

La varianza será,

Donde otra vez h=1/β

Y volviendo a β;

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento; en particular, se utiliza para modelar tiempos de supervivencia. El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento dela ley que sigue este evento se utiliza, por ejemplo para la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14.

Una característica importante de esta

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