Ecuaciones Lineales

Ecuaciones Lineales

Una ecuación con n-Variables (n-Incognitas) tiene la forma:

a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b

donde:

• a1 , a2 , ..., an : son constantes (es decir, numeros) y se llaman los coecientes de la ecuación

• x1 , x2 , ..., xn : son las variables o incognitas de la ecuación

• b: Es una constante (numero) conocido y se llama el termino independiente de la ecuación.

Note que: Las ecuaciones lineales solo involucran sumas de las constantes multiplicadas por las variables e igualadas a otra

constante, no tienen potencias de las variables, ni multiplicaciones entre las variables si las tuviera seria una ecuación NO lineal.

Ejemplos:

1. Ecuación lineal con una variable:

2x1 = 7

que se puede escribir tambien como

2x = 7

2y = 7

2α = 7

Es decir, no importa el nombre que le coloquemos a la variable, representan la misma ecuación.

2. Ecuación lineal con dos variables:

3x1 + 5x2 = 8

Que se puede escribir tambien como

3x + 5y = 8

3. Ecuación lineal con tres variables:

4x1 + 7x2 − πx3 = 0

que se puede escribir tambien como:

4x + 7y − πz = 0

1.1

Interpretación Geometrica

Una ecuación lineal con n-variables geometricamente representa un hiperplano de dimensión n-1 en un espacio de n-dimensional,

veamos esto con algunos ejemplos.

1. Una ecuación lineal con una variable:

Representa un Punto (dimensión cero) en una Recta (dimensión 1)

ax = b =⇒ x =

Esta ecuación tiene una unica solución x =

b

a

b

a

que es el punto.

2. Una ecuación lineal con dos variables:

Representa una Recta (dimension 1) en un Plano (dimension 2)

a1 x1 + a2 x2 = b

Esta ecuación tiene innitas soluciones

b − a2 x2

b − a 1 x1

⇐⇒ x2 =

a1

a2

Por cada valor que le demos a la variable x2 obtenemos un valor para x1 , similarmente

Por cada valor que le demos a la variable x1 obtenemos un valor para x2 .

x1 =

Si gracamos estas parejas de soluciones en el plano obtenemos una recta.

3. Una ecuación lineal con tres variables:

Representa un Plano (dimensión 2) en un espacio 3-dimensional.

a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = b

Similarmente al caso anterior esta ecuación tiene innitas soluciones

x1 =

b − a2 x2 − a3 x3

b − a1 x1 − a3 x3

b − a1 x1 − a2 x2

⇐⇒ x2 =

⇐⇒ x3 =

a1

a2

a3

en este caso, para cada par de valores que le demos a dos variables obtenemos un valor para la restante variables, si le

damos valores jos a x2 y a x3 obtenemos un valor para x1 .

Si

...