Ensayo De Varignon

En cualquier cuadrilátero, los puntos medios de los lados forman un paralelogramo cuya área es la mitad de la del cuadrilátero original. Adicionalmente a tener un área igual a la mitad del cuadrilátero asociado, el paralelogramo de Varignon satisface otras propiedades.

• El perímetro del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las longitudes de las diagonales del cuadrilátero.

• El paralelogramo de Varignon es un rombo si y sólo si las diagonales del cuadrilátero tienen la misma longitud.

• El paralelogramo de Varignon es un rectángulo si y sólo si las diagonales del cuadrilátero son perpendiculares.

Como consecuencia:

• El paralelogramo de Varignon es un cuadrado si y sólo si las diagonales del cuadrilátero son perpendiculares y tienen la misma longitud.

El teorema también se puede generalizar a cuadriláteros que no sean planos (por ejemplo, en el espacio o en dimensiones mayores), y aunque es posible modificar la prueba euclidiana para el caso espacial, se puede dar una demostración vectorial para cubrir el caso de dimensiones mayores. Finalmente, considerando un octaedro como una generalización de cuadriláteros al espacio, y tomando los centroides de las caras como equivalentes a los puntos medios de los lados, es posible demostrar que los centroides de las ocho caras forman siempre un paralelogramo. El teorema de Varignon es visto, gracias al empleo del cálculo vectorial, como una obviedad. Sin embargo, en su época tuvo una relevancia fundamental, ya que las fuerzas no eran vistas como vectores con un módulo, dirección y sentidos dados, sino como entelequias tremendamente abstractas cuyo tratamiento se veía complicado por una difícil e ineficaz semántica y simbología (que la notación de Leibniz vino a solventar), y por el empleo de técnicas geométricas muy ingeniosas pero difíciles de tratar.

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