Esime zac Fisica clasica Prac 4

Objetivos:

El alumno determinara la relación que existe entre dos variables mediante el uso del papel milimétrico y haciendo uso del papel logarítmico.

Material Requerido:

MARCO TEORICO

Análisis grafico (logarítmico)

De alguna manera existe familiaridad con el concepto de logaritmo. Se ha escuchado de la escala Richter para medir la magnitud o energía de un terremoto, del decibel usado principalmente en acústica y en señales eléctricas, del pH que se usa como indicador de la acidez o alcalinidad de una sustancia; en estos casos el concepto de logaritmo está involucrado. El logaritmo de un número es simplemente el exponente al cual un número fijo debe ser elevado para igualar el número en cuestión; ese número fijo es llamado base (por ejemplo el 10 o cualquier otro número positivo). Así, el logaritmo de 100 es 2 porque 102 = 100; el logaritmo de 1000 es 3 porque 103 = 1000; el logaritmo de 0.1 es - 1 porque 10−1 = 0.1. Para números entre potencias de 10, el logaritmo está entre los dos exponentes de 10 más cercanos. Por ejemplo, el logaritmo de 700 está entre 2, el logaritmo de 100, y 3, el logaritmo de 1000; resulta ser alrededor de 2.85.

Relaciones de la forma y = axn Ahora se verá por qué al usar escalas logarítmicas las curvas de la figura 4 se convierten en las rectas mostradas en la figura 5. Supóngase que la relación entre las cantidades medidas (x, y) es del tipo: y = axn

Donde a y n son constantes. El interés es que al graficar se obtenga una línea recta y que, a partir de la recta, los parámetros a y n puedan ser determinados. Para lograrlo se puede proceder de dos maneras: con logaritmos o con un adecuado cambio de variables cuando se conoce el valor de la exponente n Ahora se usaran logaritmos. Al calcular el logaritmo de ambos miembros de la fórmula (y = axn), se obtiene log y = log a + n log x

[pic 1]

Llamando X = log x y Y = log y, esta ecuación se transforma en Y = log a + nX.

Comparando las ecuaciones (y = mx + b) y (Y = log a + nX), se puede observar que esta última es la ecuación de una recta en las nuevas variables X y Y , con ordenada al origen igual a log a y con pendiente igual a n; estos parámetros se obtienen directamente de la recta. Esto significa que si, en vez de graficar los puntos (x, y) en escalas lineales, se grafican los puntos (log x, log y) en escalas lineales se obtiene una recta. Otra manera de obtener la recta, como se verá más adelante, es graficar en papel log–log; es un papel especial para graficar y que tiene escalas logarítmicas en los ejes horizontal y vertical.

Las gráficas de las funciones de la forma (y = axn) serán líneas rectas, y el valor de la pendiente de esa recta y el valor de la ordenada al origen proporcionan los detalles necesarios para escribir la ecuación que satisfacen los datos. Es conveniente mencionar los detalles que se presentan al determinar la pendiente y la ordenada al origen cuando las escalas son lineales o cuando son logarítmicas. Cuando se calculan los logaritmos de todos los datos y se grafican usando escalas lineales en ambos ejes, para determinar la pendiente se escogen dos puntos en la recta y se usa la fórmula (m=y2−y1/x2−x1). En cambio, cuando se grafican los datos originales (sin calcular sus logaritmos) en escalas logarítmicas en ambos ejes, para determinar la pendiente es necesario calcular los logaritmos de los dos puntos escogidos sobre la recta y usar la fórmula siguiente

[pic 2]

Escala Logarítmica

Una escala logarítmica es una escala de medida que utiliza el logaritmo de una cantidad física en lugar de la propia cantidad.

Un ejemplo sencillo de escala logarítmica muestra divisiones igualmente espaciadas en el eje vertical de un gráfico marcadas con 1, 10, 100, 1000, ... en vez de 0, 1, 2, 3, ...

La presentación de datos en una escala logarítmica puede ser útil cuando los datos cubren una amplia gama de valores - el logaritmo los reduce a un rango más manejable. Algunos de nuestros sentidos funcionan de manera logarítmica (ley de Weber-Fechner), lo que hace especialmente apropiadas a las escalas logarítmicas para representar estas cantidades. En particular, nuestro sentido del oído percibe cocientes iguales de frecuencias como diferencias iguales en el tono. Además, los estudios en niños pequeños y en tribus aisladas han demostrado que las escalas logarítmicas pueden ser la manera más natural de representar los números por parte de los seres humanos.

Papel logarítmico.

El papel milimetrado logarítmico, antes del advenimiento de la informática gráfica, fue una herramienta científica básica. Las representaciones en papel con una escala semilogarítmica pueden mostrar las funciones exponenciales, como líneas rectas. Igual ocurre con las funciones potenciales en un papel con dos escalas logarítmicas. (véanse las gráficas semilogarítmica y logarítmica al comienzo del artículo).

[pic 3][pic 4]

Papel milimétrico:

El papel milimetrado es papel impreso con finas líneas entrecruzadas, separadas según una distancia determinada (normalmente 1 mm en la escala regular). Estas líneas se usan como guías de dibujo, especialmente para graficar funciones matemáticas o datos experimentales y diagramas (véase gráfica de una función). Se emplean en geometría analítica y la enseñanza de matemáticas e ingeniería.

Cuando se tienen datos experimentales de dos magnitudes y se quiere determinar la relación entre ambas, es conveniente representarlas en una gráfica ya que permite visualizar el efecto que una variable produce en la otra.

[pic 5]

DESARROLLO EXPERIMENTAL

Experimento 1

Aplicación de la técnica de cambio de variable para la determinación del modelo matemático entre el  volumen y el diámetro de un cilindro

Actividades

1. Con la ayuda de la probeta mida el volumen V (en cm3)   de cada cilindro
2. Con la ayuda de vernier mida en cm, el diámetro D y la altura h de los cilindros
3. Anote las incertidumbres del volumen y del diámetro (apéndice B)
4. Tabule adecuadamente los datos, con sus incertidumbres
5. Haga una gráfica de V vs D en papel milimétrico (dibujando a escala las incertidumbres)
6. Observe la curva que le resulto y compárela con la familia de curvas de la función y=A xm  (figura 9) ¿Qué tipo de curva resulto? ¿Qué valor se podría estimar para m?
7. De acuerdo a la conclusión anterior, eleve los valores de D al exponente que crea conveniente (elija entre los valores frecuentes de m, que son: 1, -1, 2, -2 etc.) y tabule nuevamente a V y a D. Si no resulta una recta ha elegido mal el exponente y deberá elegir otro.
8. Si resulto una recta vea si pasa por el origen, si es así calcule la pendiente A y obtenga la ecuación de interdependencia.

Volumen experimental de los cilindros

...