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Enviado por andres880911 • 15 de Septiembre de 2015 • Informes • 3.577 Palabras (15 Páginas) • 117 Visitas
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SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES
Hugo Eduardo Ramirez
[pic 2]
SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
Sección 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
Empezaremos recordando que en el plano cartesiano una ecuación lineal es una ecuación de la forma
a
1
x + a
2
y = c (1)
y hace referencia a la gráfica de una función que es una l ́ınea recta, La cual también puede ser vista de la forma
y = -
a a
1
2
x +
a c
2
, S ́ı a
2
= 0
La recta con pendiente
(
m = -
a
1
)
a
2
y con corte b =
a c
2
.
y
y = mx + b
x
En un marco más amplio una ecuación lineal puede tener más de dos incógnitas y en este caso se ver ́ıa as ́ı:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ ··· + a
n
x
n
= b (2)
Esta es una ecuación lineal, en la cual se identifican n 1 letras a
1
,a
2
,...,a
n
que representan los coeficientes de las n incógnitas x
1
,x
2
,...,x
n
cuya suma da como resultado b. Un sistema lineal es un conjunto de una o más ecuaciones lineales; un sistema lineal de n ecuaciones con m incógnitas se ver ́ıa en una forma genérica as ́ı:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ a
13
x
3
+ ··· + a
1m
x
m
= b
1
(3) a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ a
23
x
3
+ ··· + a
2m
x
m
= b
2 a
31
x
1
+ a
32
x
2
+ a
33
x
3
+ ··· + a
3m
x
m
= b
3 . . . =
. . . a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ a
n3
x
3
+ ··· + a
nm
x
m
= b
n
Donde a
ij
determina el coeficiente de la i-esima ecuación y j-esima incógnita. Note en el sistema de arriba que no necesariamente el número n coincide con el número m, es decir, que el número de incógnitas no necesariamente coincide con el número de ecuaciones. Se llama una solución del sistema a un conjunto de números que son asignados a cada una de las incógnitas y que reducen cada una de las ecuaciones a una igualdad numérica.
Ejemplo. El sistema lineal de dos ecuaciones con tres incógnitas que se presenta a continuación
3x
1
+ 2x
2
- x
3
= 3 x
1
- x
2
+ 3x
3
= 1
1n representa un número arbitrario pero fijo de R
1
[pic 3]
SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES
Tiene como solución la tripla de números (0,2,1) donde el significado es que x
1
= 0, x
2
=2y x
3
= 1, y verificamos que es una solución de la siguiente manera, reemplazando el valor de cada una de las incógnitas.
3 · 0+2 · 2 - 1=0+4 - 1 = 3 0 - 2+3 · 1=0 - 2+3 = 1
Pero para este sistema esa no es la única solución; el estudiante puede verificar que (1,0,0) es también una solución.
Para encontrar soluciones a los sistemas lineales, vamos a resaltar los detalles en el siguiente ejemplo de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
3x - 2y - z = -1 (1) 2x + 2y - 2z = 0 (2) x - y + 2z = 4 (3)
La metodolog ́ıa usada se llama eliminación y se trata, Empezaremos eliminando la incógnita x de la ecuación ecuaciones y guardar el resultado en la ecuación (2). como su (2); para As ́ı:
nombre lo esto podemos indica, de multiplicar eliminar la ecuación incógnitas (1) de por las -
ecuaciones.
2 3
, sumar las
- 2 3
× 3x - 2y - z = -1 ≡ -2x +
4 3
y +
2 3
z =
2 3 haciendo la suma
-2x +
4 3
2 3
2
+
3
2x + 2y - 2z = 0
0 +
y +
z =
10 3
4 3
2 3 y as ́ı el sistema queda
3x - 2y - z = -1 (1)
10 3
y -
z =
y -
4 3
z =
2 3
(2)
x - y + 2z = 4 (3)
Ahora eliminamos la incógnita x de la ecuación (3); para esto podemos ecuaciones y guardar el resultado en la ecuación (3). As ́ı:
multiplicar la ecuación (1) por -
1 3
, sumar las
3x - 2y - z = -1 (1)
10 3
y -
4 3
z =
2 3
(2)
-
1 3
y +
7 3
z =
13 3
(3)
Notamos que la nueva ecuación (3) no tiene ninguna x puesto que la eliminamos, y (3) podemos eliminar la y de la ecuación (3), para esto multiplicamos por resultado en la ecuación (3) obtenemos:
...