Fuerzas Y Energias

FUERZAS CONSERVATIVAS.

En física, un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo realizado para desplazar una partícula entre dos puntos es independiente de la trayectoria seguida entre tales puntos. El nombre conservativo se debe a que para un campo de fuerzas de ese tipo existe una forma especialmente simple de la ley de conservación de la energía.

 CRITERIOS DE CARACTERIZACION DE UNA FUERZA CONSERVATIVA.

Puede demostrarse que un campo es conservativo si presenta alguna de las propiedades siguientes (de hecho si cumple una de ellas, cumplirá las otras ya que matemáticamente son equivalentes):

Hay un campo escalar con: donde es el gradiente del campo escalar V(r).

El trabajo a lo largo de un camino cualquiera S a través del campo de fuerza depende sólo de los puntos inicial y final y no de la trayectoria. En particular, el trabajo por una curva cerrada C es cero, también

El campo es simplemente continuo y cumple la condición de integrabilidad: . Eso significa que, si la rotación desaparece, también lo hará

Un ejemplo de fuerza conservativa es el campo gravitatorio de la mecánica newtoniana. Lo contrario a una fuerza conservativa es una fuerza no-conservativa, que realiza más trabajo cuando aumenta la longitud del camino recorrido. Un ejemplo de esto es el rozamiento. La mayoría de sistemas físicos son no-conservativos; en ellos la energía se pierde por el rozamiento o por la acción del campo de fuerzas no-conservativas. Un campo no conservativo se puede describir a través de un campo conservativo haciendo algunas consideraciones.

 CONSERVATIVIDAD LOCAL.

Cuando se considera el criterio (3) se debe tener precaución, porque el campo de fuerza puede existir, pero la rotación la hace no conservativa. El ejemplo más conocido es el conductor eléctrico, a cuyo campo magnético asociado se lo representa como:

Aunque la condición integral se cumple, no existe la derivada en el punto cero, por lo que la región no es continua. Entonces no se trata de un campo gradiente, como puede distinguir de la integral cerrada de un círculo unitario. El círculo unitario se parametriza mediante

Con .

Con eso la integral cerrada es:

Es un campo conservativo, es decir cada integral que describe un camino cerrado, con lo que se tiene que la rotación desaparece (conservatividad local). La inversión de esta afirmación no tiene ningún valor significativo.

 POTENCIAL.

El campo escalar del criterio (1) se llama potencial o energía potencial. El signo menos de este criterio es una convención y tiene un significado profundo, a pesar que su significado fue argumentado en el principio variacional de la mecánica lagrangiana y, por el momento, opera de forma voluntaria. La base de esa convención se puede aclarar por medio del siguiente ejemplo: en la cercanía de la superficie terrestre está la masa m en un potencial gravitacional a una altura h=y bajo una aceleración de la gravedad g > 0, aproximadamente v(y)= + m g y. Debido al sistema de coordenadas en la superficie terrestre es positivo cuando se dirige hacia arriba, debe ser negativo cuando se dirige hacia abajo. Se calcula la fuerza del primer criterio y se obtiene:

Esto muestra que la fuerza se ejerce, tal como se esperaba, en dirección al centro de la Tierra.

 DEMOSTRACION DE EQUIVALENCIA DE LOS CRITERIOS.

Existen tres criterios equivalentes para determinar si un campo de fuerzas es conservativo ((1), (2) y (3)). El primer criterio es acerca de la definición de un campo de fuerzas conservativo; los otros dos son otras formulaciones del primer criterio. Muchas veces el campo de fuerzas está definido de una forma "directa" a través del segundo criterio. Así, se tiene que el trabajo en un campo conservativo es independiente del camino.

Se tiene un camino cerrado C en un campo conservativo, del punto 1 sobre el camino S1 al punto 2 luego por el camino S2 de regreso al punto 1.

La integral cerrada sobre ese camino será:

Para todos los caminos S1, S2 esta integral sería S1 + (-S2) igual a cero, cuando:

También sería:

Esto es la independencia del camino recorrido y con esto se describe las posibles definiciones de un campo conservativo.

El tercer criterio habla sobre la desaparición de la rotación de un campo de fuerzas conservativas. Por el primer criterio se tiene y para la rotación se tiene que

Con lo que el primer y el tercer criterio resultan ser equivalentes. Esto también es equivalente al segundo criterio. Si , por medio del teorema de Stokes para la curva cerrada C, se tiene para una superficie cerrada A:

Con lo que el trabajo vuelve a aparecer y éste desde la primera demostración se obtuvo que fuera independiente del camino, por lo que se tiene finalmente una igualación de los tres criterios.

 CONSERVACION DE LA ENERGIA.

En la mecánica clásica se tiene que la energía cinética es: , donde v es la velocidad; de la segunda ley de Newton, para masas m constantes, la energía puede ser descrita como: Tenemos la integral para el camino del punto 1 al punto 2

Para el lado derecho de la ecuación

Lo que significa que el trabajo total que se necesita para el movimiento corresponde al cambio en la energía cinética. Para el lado izquierdo se obtiene mediante el uso de las propiedades de la fuerza conservativa

y con esto

T2 − T1 = V2 − V1

Respectivamente

T1 + V1 = T2 + V2

Que se refiere directamente a la conservación de la energía. Las propiedades de la conservación de la energía son también la base, de ahí que el campo conservativo lleva su nombre, aquí la energía se conserva.

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