Gauss Seidel

Sistemas de ecuaciones lineales 3

El método de Gauss-Seidel iterativo

Los métodos utilizados en LHE pasos anteriores para resolver sistemas de ecuaciones lineales se denominan métodos directos. Si se utiliza un método directo y de redondeo y otros errores no surgen, se alcanza una solución exacta después de un número finito de operaciones aritméticas. En general, por supuesto, surgen errores de redondeo, y cuando los grandes sistemas se resuelven por métodos directos, los errores en crecimiento puede llegar a ser tan grande que haga que los resultados obtenidos totalmente inaceptable.

1. Los métodos iterativos

Los métodos iterativos proporcionan un enfoque alternativo. Recordemos que un método iterativo comienza con una solución aproximada, y lo utiliza por medio de una fórmula de recurrencia para proporcionar otra solución aproximada; por la aplicación repetida de la fórmula, se obtiene una secuencia de soluciones que (bajo condiciones adecuadas) converge a la solución exacta.Métodos iterativos tienen las ventajas de la simplicidad de operación y la facilidad de aplicación en los ordenadores, y que son relativamente insensibles a la propagación de errores, sino que se utilizan con preferencia a los métodos directos para la resolución de sistemas lineales que implican varios cientos de variables, en particular, si muchos de los coeficientes fueron cero. Sistemas de más de 100 000 variables se han resuelto con éxito en los equipos por métodos iterativos, mientras que los sistemas de más variables 10 000 o que son difíciles o imposibles de resolver por métodos directos.

2. El método de Gauss-Seidel

Este texto sólo se presentará un método iterativo para ecuaciones lineales, debido a Gauss y mejorado por Seidel. Vamos a utilizar este método para resolver el sistema

.

Es adecuado para la aplicación en los equipos (véase el pseudo código .

El primer paso es resolver la primera ecuación para x 1 , la segunda para x 2 , y el tercero para x 3 cuando el sistema se convierte en:

.

n solución inicial supone ahora, vamos a utilizar x l = 0, x 2 = 0 y x 3 = 0. Inserción de estos valores en el lado derecho de la ecuación (1) se obtiene x L = 1,3. Este valor de x l se utiliza inmediatamente junto con el resto de la solución inicial (es decir, x 2 = 0 y x 3 = 0) en el lado derecho de la ecuación (2) y los rendimientos x 2 = 1,3 a 0,2 x 1,3 - 0 = 1,04. Por último, los valores de x l = 1,3 y x 2 = 1,04 se insertan en la ecuación (3) para producir x 3 = 0.936. Esta segunda solución aproximada (1,3, 1,04, 0,936) completa la primera iteración.

A partir de esta segunda aproximación, se repite el proceso para obtener una tercera aproximación, etc Bajo ciertas condiciones relativas a los coeficientes del sistema, esta secuencia converge a la solución exacta.

Podemos establecer relaciones de recurrencia, que muestran claramente cómo el proceso pasa iterativo.

...