Ley De Enfriamiento De Newton

LEY de ENFRIAMIENTO de NEWTON

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INTRODUCCIÓN

La transferencia de calor está relacionada con los cuerpos calientes y fríos llamados; fuente y receptor, llevándose a cabo en procesos como condensación, vaporización, cristalización, reacciones químicas, etc. en donde la transferencia de calor, tiene sus propios mecanismos y cada uno de ellos cuenta con sus peculiaridades. La transferencia de calor es importante en los procesos, porque es un tipo de energía que se encuentra en transito, debido a una diferencia de temperaturas (gradiente), y por tanto existe la posibilidad de presentarse el enfriamiento, sin embargo esta energía en lugar de perderse sin ningún uso es susceptible de transformarse en energía mecánica por ejemplo; para producir trabajo, generar vapor, calentar una corriente fría, etc. En virtud de lo anterior es importante hacer una introducción al conocimiento de los procesos de transferencia de calor a través de la determinación experimental de la ecuación empírica que relaciona la temperatura de enfriamiento de una cantidad de sustancia con respecto al medio.

Experimentalmente se puede demostrar y bajo ciertas condiciones obtener una buena aproximación a la temperatura de una sustancia usando la Ley de Enfriamiento de Newton. Esta puede enunciarse de la siguiente manera: La temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad que es proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el medio externo y el cuerpo. Suponiendo que la constante de proporcionalidad es la misma ya sea que la temperatura aumente o disminuya, entonces la ecuación diferencial de la ley de enfriamiento es:

(1)

Donde:

T = Temperatura de un cuerpo

t = tiempo

Tm = Temperatura del medio ambiente

Procediendo a la solución de la ecuación (1) y separando variables

(2)

integrando cada miembro de la ecuación

(3)

Obtenemos

(4)

y por tanto la ecuación inversa es;

(5)

(6)

Si:

(7)

(8)

(9)

Ejemplo: Un termómetro marca la temperatura de un sistema igual a 80°C., se mide también la temperatura del medio la cual es de 20°C. El sistema se empieza a enfriar y tres minutos después se encuentra que el termómetro marca 75°C. se desea predecir la lectura del

termómetro para varios tiempos posteriores, por lo tanto se requiere determinar la ecuación del enfriamiento en función de los valores dados.

Representemos por "T" (°C.) la temperatura marcada por el termómetro, al tiempo "t" (min.). Los datos indican que cuando t = 0.0; T = 80.0, y cuando t = 3.0 min., T = 75°C.

De acuerdo con la ecuación (9) de la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad de variación de la temperatura con el tiempo, dT/dt, es proporcional a la diferencia de temperaturas (T - 20.0). Ya que la temperatura que marca el termómetro está decreciendo, entonces (-k) resulta la constante de proporcionalidad. Así "T" debe ser determinada de la ecuación diferencial, por lo tanto necesitamos conocer las lecturas del termómetro en dos tiempos diferentes, debido a que hay dos constantes que deben ser determinadas, "k" de la ecuación (1) y la constante de "integración" que se encuentra en la solución de la misma.

Así que bajo las condiciones dadas:

(10) cuando t = 0.0 ; T = 80.0

y transcurrido un cierto tiempo de enfriamiento

(11) cuando t = 3.0 ; T = 75.0

de la ecuación (9) se sigue inmediatamente que debido a que la temperatura ambiente es igual a 20 °C. entonces:

T = 20 + Ce-kt

Entonces; la condición (10) nos indica que 80 = 20 + C y por lo tanto la constante de integración es: C = 60, de tal forma que tenemos que la ecuación anterior resulta:

(12) T = 20 + 60e-kt

El valor de "k" será determinado ahora usando la condición (11). Haciendo t = 3.0 y T = 75 por lo que con la ecuación (12) obtenemos

(13) 75 = 20 + 60e-kt

realizando el despeje correspondiente resulta que: e-kt = 0.917, ahora aplicando "ln" a la ecuación y despejando la constante de proporcionalidad cuando el tiempo es igual a 3.0 min. resulta: k = - 1/3 ln 0.917 por lo tanto:

(14) k = 0.02882602

Ya que ln 0.917 = - 0.0866, la ecuación (12) puede reemplazarse por:

(15) T = 20.0 + 60 e-0.02882602 t

la cual resulta la ecuación de la ley de enfriamiento de Newton aplicada a nuestro sistema, es decir que el valor de "k" depende de las características específicas del sistema en particular, ecuación con la que podemos determinar a un tiempo dado la temperatura correspondiente y por consiguiente conociendo la temperatura hallar el tiempo de enfriamiento transcurrido. Por lo que conocer el valor de la constante "k" para diferentes materiales en función de una tabla de valores tiempo vs. temperatura nos da la posibilidad de "caracterizar" a cada uno de ellos.

PROBLEMAS PROPUESTOS CON RESPUESTAS

Dada la variedad de métodos para resolver problemas que involucren los conceptos de hidrostática e hidrodinámica, se presentarán los problemas sin ningún orden temático de agrupación.

1. Denver, Colorado, se conoce como la "Ciudad a una Milla de Altura" debido a que está situada a una elevación aproximada de 5.200 pies. Si la presión a nivel del mar es de 101,3 KPa (abs), ¿Cuál es la presión atmosférica en Denver?. Densidad del aire = 1,29 Kg/m3. Sol. 81,2 KPa

2. Un barómetro indica que la presión atmosférica es de 30,65 pulgadas de mercurio. Calcule la presión atmosférica en lb/pulg2 absoluta? Sol. 15,058 psi

3. ¿Cuál es la lectura de presión barométrica en milímetros de mercurio correspondiente a 101,3 KPa(abs)? Sol. 759,812 mm de Hg a 0 ºC

4. Para el tanque de la Figura, determine la profundidad del aceite, h, si la lectura en el medidor de presión del fondo es de 35,5 lb/pulg2 relativa, la parte superior del tanque está sellada y el medidor superior indica 30 lb/pulg2 relativa. Sol. 13,355 Ft

5. Para el manómetro diferencial que se muestra en la Figura, calcule la diferencia

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