Algoritmos y conceptos básicos
Enviado por eeqcssr09 • 12 de Agosto de 2011 • Tutoriales • 1.369 Palabras (6 Páginas) • 1.315 Visitas
Lección 1. Algoritmos y conceptos básicos.
Objetivos. La primera lección del curs está dedicada a repasar los
conceptos y algoritmos del álgebra lineal, básicos para el estudio de la
geometría con coordenadas.
n Operaciones con matrices.
n Determinantes.
n Rangos.
n Sistemas de ecuaciones lineales.
n Inversión de matrices.
1.1 Operaciones con matrices. En este apartado repasaremos las
operaciones básicas con matrices: suma, producto por un escalar y producto. La
inversión de matrices se estudia más adelante.
Suma de matrices. Les matrices, de la misma manera que los vectores, se
suman componente a componente.
Solamente se pueden sumar matrices cuando éstas tienen las mismas
dimensiones.
Producto por escalares. El producto de una matriz por un escalar -o
número real- se efectúa multiplicando este escalar por cada uno de los
elementos de la matriz.
Producto de matrices. El producto de dos matrices se obtiene efectuando
el producto escalar de las filas de la primera matriz per las columnas de la
segunda.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Lección 1 Página 1 de 8
Para poder multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera ha de
coincidir con el número de filas de la segunda.
La matriz resultante tiene tantas filas como la primera y tantas columnas como
la segunda.
dim(A) = 2 x 2, dim(B) = 2 x 3 >>> dim(AB) = 2 x 3
dim(A) = m x n, dim(B) = n x p >>> dim(AB) = m x p
ejercicio 1 problema 1.1
ejercicio 2 problema 1.2
1.2 Determinantes. El determinante de una matriz cuadrada nos informa,
por un lado, de la dependencia lineal entre sus vectores fila (o columna).
Por otro lado, nos permite calcular el volumen del sólido que tiene como aristas
dichos vectores.
También nos proporciona información sobre la orientación de la base.
Cálculo del determinante. El determinante de una matriz cuadrada se
define como la suma de todos los productos (con signo) en los que intervienen
un único elemento de cada fila y de cada columna.
Ejemplo 4 determinante 2x2.
Ejemplo 5 determinante 3x3 (estrella).
Ejemplo 6 determinante nxn (desarrollo por filas o por
columnas).
Lección 1 Página 2 de 8
El método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones puede
utilitzarse también (con precaución) para calcular determinantes.
Interpretación geométrica. El determinante de dos vectores mide el área
del paralelogramo que tiene como lados dichos vectores. por qué?
El determinante de tres vectores mide el volumen del paralelepípedo que
determinan.
Por consiguiente, el determinante de dos vectores paralelos o de tres vectores
coplanarios es igual a cero.
En general, el determinante de n vectores linealmente dependientes es nulo.
1.3 Rango de una matriz. El rango de una matriz es el número de
columnas (filas) linealmente independientes. El cálculo del rango puede hacerse
por determinantes, o por el método de Gauss.
Cálculo del rango Para calcular el rango de una matriz se busca el menor
de mayor orden con determinante no nulo que se puede formar con los
elementos de la matriz.
Entendemos por menor de una matriz cualquier submatriz cuadrada de la
misma.
Ejemplo
7 es un menor nulo (su
determinante
vale 0 ) de orden 2 (matriz 2x2) de
la matriz
es un menor no nulo
(determinante diferente de 0) de
orden 2 de la misma matriz.
NO es un menor de orden 2 de esta
matriz, porque 1 y 2 no son de la
misma fila:
Lección 1 Página 3 de 8
No hace falta considerar todos los menores posibles de la matriz. Es suficiente
con una secuencia de ampliaciones sucesivas.
ejercicio 4 problema 1.6
1.4 Sistemas de ecuaciones lineales. Los sistemas de ecuaciones
lineales expresan dependencias lineales entre variables (incógnitas). Resolver el
sistema es hallar valores de estas variables que satisfacen todas las ligaduras
simultáneamente. Si las ligaduras son demasiado restrictivas (resp. demasiado
laxas), puede suceder que no
...