Movimiento Oscilatorio Amortiguado

MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO

Los sistemas que se han considerado hasta ahora son idealizaciones en las cuales se considera que no existe fricción no existe fricción no existe fricción no existe fricción no existe fricción, que únicamente intervienen fuerzas conservativas de tal manera que no hay disminución de la energía mecánica y que una vez que el sistema se pone en movimiento, éste continúa oscilando para siempre sin disminución de su amplitud.

En la práctica los sistemas siempre tienen alguna forma de fricción y las oscilaciones van disminuyendo a menos que se provea de alguna forma de reemplazar la energía mecánica perdida por la fricción. (v. gr. el péndulo de un reloj)

La disminución en la amplitud originada por las fuerzas disipativas es llamada el amortiguamiento, y el movimiento corresponde a oscilaciones amortiguadas oscilaciones amortiguadas oscilaciones amortiguadas oscilaciones amortiguadas.

Entre las diferentes posibilidades, el caso más simple de analizar es el de una fuerza de amortiguamiento que es proporcional a la velocidad del cuerpo que oscila.

Este tipo de comportamiento se presenta en el movimiento de líquidos viscosos, como en el caso de los amortiguadores de automóviles o el deslizamiento entre superficies lubricadas con aceite. En este tipo de casos tenemos una fuerza adicional sobre el cuerpo, debido a la fricción, de la forma:

F = -bv

Donde v = dx/dt es la velocidad y b es una constante que describe la intensidad de la fuerza de amortiguamiento. El signo negativo nos indica que la fuerza siempre se opone a la dirección de la velocidad. De esta manera la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es:

F = -kx –bv

De acuerdo a la segunda ley de Newton para el sistema tendremos que:

-kx -bv = ma, ó

-kx -b dx/dt = m d2x/dt2

Esta es una ecuación diferencial cuya solución, cuando la fuerza de amortiguamiento es pequeña y se tiene un desplazamiento inicial A, es de la forma:

Donde la frecuencia angular de oscilación ω’ está dada por:

Lo cual puede verificarse fácilmente.

Gráfica de un movimiento armónico amortiguado. Constante de fase Constante de fase igual a cero. Aunque el movimiento es oscilatorio la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo

Las diferencias entre las soluciones del oscilador armónico simple y el amortiguado son dos:

• La amplitud A e-(b/2m)t ya no permanece constante sino que disminuye con el tiempo de acuerdo al factor exponencial. Así mientras más grande sea el valor de b, más rápido decaerá la amplitud.

• La frecuencia angular ω’ ya no es igual a sino que es un poco más pequeña, y se convierte en cero cuando b es tan grande que

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