Métodos de analisis dimensional

UNIDAD IV ANÁLISIS DIMENSIONAL

4.1. Métodos de analisis dimensional

Es una herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema de Vaschy-Buckingham (más conocido por teorema ) permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducido. Estos parámetros adimensionales se obtienen mediante combinaciones adecuadas de los parámetros dimensionales y no son únicos, aunque sí lo es el número mínimo necesario para estudiar cada sistema.

De este modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamaño mínimo se consigue:

Analizar con mayor facilidad el sistema objeto de estudio

Reducir drásticamente el número de ensayos que debe realizarse para averiguar el comportamiento o respuesta del sistema.

El análisis dimensional es la base de los ensayos con maquetas a escala reducida utilizados en muchas ramas de la ingeniería, tales como la aeronáutica, la automoción o laingeniería civil.

Para reducir un problema dimensional a otro adimensional con menos parámetros, se siguen los siguientes pasos generales:

Contar el número de variables dimensionales n.

Contar el número de unidades básicas (longitud, tiempo, masa, temperatura, etc.) m

Determinar el número de grupos adimensionales. El número de grupos o números adimensionales ( ) es n - m.

Hacer que cada número dependa de n - m variables fijas y que cada uno dependa además de una de las n - m variables restantes

Cada se pone como un producto de las variables que lo determinan elevadas cada una a una potencia desconocida.

El número que contenga la variable que se desea determinar se pone como función de los demás números adimensionales.

Aplicaciones del Analisis Dimencional.

Detección de errores de cálculo.

Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades matemáticas insalvables.

Creación y estudio de modelos reducidos.

Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos, etc.

Variables Unidades Sist. Internacional Sist. Ingles

Velocidad V d/t m/s

Aceleracion a v/t m^2/s

Caudal Q v*A m^3/s

Densidad ρ m/V kg/m^3

Peso especifico ɤ f/v N/m^3

4.2. Teorema “π” de Buckingham

El Teorema de Π (pi) de Vaschy-Buckingham es el teorema fundamental del análisis dimensional. El teorema establece que dada una relación física expresable mediante una ecuación en la que están involucradas n magnitudes físicas o variables, y si dichas variables se expresan en términos de k cantidades físicas dimensionalmente independientes, entonces la ecuación original puede escribirse equivalentemente como una ecuación con una serie de n - k números adimensionales construidos con las variables originales.

Este teorema proporciona un método de construcción de parámetros adimensionales, incluso cuando la forma de la ecuación es desconocida.

MÉTODO DE (pi) π. π_i=m-n

π_i=9-3=6〖 π〗_i=ᵹ [X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_(6,) X_(7,) X_(8,) X_(9,) ]

P T Q ρ ɤ F Ṁ L M

Variables Repetitivas

Variables no Repetitivas ᵹ

X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 X_9

π_1 ᵹ Q ρ ɤ F Ṁ L M P T

X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 X_9

π_2 ᵹ Ρ ɤ F Ṁ L M P T Q

X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 X_9

π_3 ᵹ ɤ F Ṁ L M P T Q ρ

X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 X_9

π_4 ᵹ F Ṁ L M P T Q ρ ɤ

X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 X_9

π_5 ᵹ Ṁ L M P T Q ρ ɤ F

...