Ondas Mecanicas

En el desarrollo de las siguientes actividades concernientes a las ondas mecánicas y sus fenómenos, se realizarán experiencias con dos tipos de ondas:

Ondas transversales generadas por un pulso en un resorte tenso, y

Ondas estacionarias generadas en una cuerda tensa.

Para el desarrollo del experimento de ondas transversales, se registrarán los tiempos que las ondas tardan en recorrer una cierta distancia de dos formas:

A.1) Con un cronómetro manual, el cual tiene el error de la precisión al activarse y detenerse por ser accionado mediante la reacción humana, y

A.2) Con portales electrónicos, los cuales aumentarían la precisión en la medida del tiempo, ya que se activan y detienen automáticamente.

Con estas dos precisiones de tiempos se verificará la velocidad de las ondas en una cuerda tensa, y sus valores serán comparados con los obtenidos por definición.

Para el caso de las ondas estacionarias, el experimento se realiza también de dos formas:

B.1) Con un timbre eléctrico que se utilizará como generador de ondas, el cual entrega una frecuencia constante de 50 (hz), que corresponde a la frecuencia que entrega la red domiciliaria, y

B.2) Con un generador de ondas mecánicas, para el cual se ajustará una frecuencia deseada, y posteriormente se aumentará al doble.

Es importante mencionar que, por falta de tiempo en el desarrollo de las experiencias, los experimentos A.1 y B.1 han sido realizados íntegramente por nuestro grupo, mientras que los experimentos A.2 y B.2 han sido realizados por otro grupo, para luego intercambiar los resultados entre sí.

OBJETIVOS

Verificar la expresión de la velocidad de un pulso transversal en un resorte tenso.

Verificar la teoría de las ondas estacionarias en una cuerda tensa.

INTRODUCCION TEORICA

Dinámica de las Ondas Transversales

Ondas mecánicas

Consideremos una pequeña parte de una cuerda, en la que se propaga una onda, a la que aplicamos entonces la ecuación fundamental de la mecánica, a saber la ecuación F = m"a. Designamos por x, la longitud de este segmento de la cuerda en condiciones de equilibrio, y por m la masa respectiva; entonces la densidad lineal de masa, , está dada por m/x.

Las fuerzas que actúan sobre este segmento de la cuerda son las tensiones, T1 y T2, en ambos extremos, respectivamente. Por hipótesis, el segmento de cuerda no sufre desplazamiento paralelo al eje x, en consecuencia las componentes de las tensiones paralelas al eje x, deben ser iguales y de signo contrario, de modo que den una resultante nula en esa dirección: (T1)x = -(T2)x . Además, éstas componentes de la tensión son iguales a la magnitud de la tensión, T, en la situación de equilibrio.

En cambio, en el sentido transversal a la dirección de desplazamiento de la onda sí hay movimiento del segmento de cuerda de masa m, y en consecuencia las componentes transversales de las tensiones (T1)y y (T2)y , deben dar un resultado no nulo.

Estas componentes de las tensiones se pueden expresar en función de la tensión y de las pendientes de la cuerda, que a su vez están relacionadas o se expresan en función de las derivadas parciales de la función desplazamiento y, respecto de x. Es decir, la fuerza resultante se puede expresar en función de las derivadas parciales del desplazamiento y respecto de la posición x.

En efecto, se tiene, respectivamente:

(T1)y / (T1)x = ("y / "x)x ,(la derivada parcial evaluada en x),

(T2)y / (T2)x = ("y / "x)x+x ,(la derivada parcial evaluada en x+x),

Con la aproximación (T1)x " T " (T2)x, multiplicamos ambas ecuaciones por la tensión T, y se resta la primera de la segunda. Se obtiene entonces para la fuerza resultante sobre el segmento de cuerda de masa m.

(T2)y - (T1)y = T{ ("y/"x)x+x - ("y/"x)x }

Por otra parte, para el producto m"a, se tiene:

m"a = " x " ("y/"t) , (la aceleración es la segunda derivada, con respecto al tiempo, del desplazamiento y)

Esta última derivada puede ser evaluada en x o en x+x, ya que más adelante se tomará el límite x!0. La ecuación de movimiento es entonces:

T{ ("y/"x)x+x - ("y/"x)x } = " x " ("y/"t)

Al dividir por T" x y considerar el límite x!0, se obtiene la ecuación

"y =  "y

"x T "t

Se observa que el desplazamiento de la cuerda satisface la ecuación de onda, y que la velocidad de propagación de esas ondas está dada por:

____

V = " T/

Ondas Estacionarias

En el caso de las ondas armónicas es posible estudiar un caso particular de superposición, que tiene gran interés por sus diversas aplicaciones teóricas y prácticas. Se trata de la superposición de dos ondas iguales, pero que se desplazan en sentido contrario, lo que genera una "onda estacionaria".

Consideremos entonces una onda dada por la función:

y1(x,t) = A"sen (2 [ v"t - {x / } ] ) ,

y la onda reflejada, en el caso del extremo fijo, dada por la función:

y2(x,t) = (-A)"sen (2 [ v"t + {x / } ] )

Se verifica sin gran dificultad, utilizando la identidad trigonométrica:

sen (a ± b) = sen a cos b ± cos a sen b

que se obtiene para la función y = y1 + y2

y(x,t) = 2 A " cos (2 v t) sen ( {2 / } x )

Se observa que cada punto de coordenada x de la onda tiene un movimiento armónico de amplitud 2 A sen ( {2 / } x ). En consecuencia los puntos tales que x = n /2 no se mueven, ya que tienen amplitud nula. Esta función no representa una onda que se desplaza, sino que una onda estacionaria. Los puntos que no se mueven se denominan "nodos". Por otra parte, los puntos de máxima amplitud se denominan "antinodos".

Un resultado similar se obtiene con la reflexión de una onda armónica en un extremo libre de una cuerda. El resultado en este caso es:

y(x,t) = 2 A " sen (2 v t) cos ( {2 / } x )

El extremo libre de la cuerda, a diferencia del caso anterior donde es un nodo, es ahora un antinodo.

Si se fijan los dos extremos de la cuerda, entonces la condición para que haya ondas estacionarias,

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