Principios De Geometría Analítica Y álgebra Lineal

Espacio vectorial

Es un conjunto arbitrario diferente del vacío en el cual se han definido dos operaciones: adición y producto por un número. Un conjunto es una colección de objetos que está bien definida, por definida, entendemos que siempre es posible saber si un elemento o no pertenece a una colección o conjunto.

Algunos ejemplos de espacios vectoriales son:

Con las operaciones usuales los siguientes conjuntos se constituyen como espacios vectoriales: Matrices de nÃ-n ; P(n) (polinomios), funciones continuas, IRn (producto cartesiano). Por ahora consideraremos el conjunto IR2 = { (x, y) | ... } y veremos las siguientes operaciones:

Sea un vector ^u = (x1, y1) y ^v = (x2, y2) y k un escalar entonces definimos las siguientes operaciones:

^u + ^v = (x1 + x2, y1 + y2) k^u = (kx1, ky1) ^u ·^v = x1 · x2 + y1 · y2

Y además se satisfacen los siguientes axiomas:

Sean vectores denotados como ^u, ^v y ^w y a, b, c escalares, entonces:

1) ^u + ^v = ^v + ^u

2) (^u + ^v )+ ^w = ^u + (^v + ^w)

3) ^u + 0 = 0 + ^u = ^u

4) ^u + ( - ^u) = 0

5) a(b^u) = (ab)^u = ^u(ab)

6) a(^u + ^v) = a^u + a^v

7) (a + b)^u = a^u + b^v

8) 1^u = ^u

9) ^u·^v = ^v·^u

10) ^u(^v + ^w) = ^u·^v + ^u·^w

11) c(^u^v) = (c^u)^v = ^u(c^v)

12) 0·^u = 0

13) ^u·^u = |^u|2

14) Dos vectores son perpendiculares ( ^u·^v = 0

En IR² ó IR³ cuando consideramos un punto (x, y) cualquiera y lo representamos gráficamente en el plano cartesiano trazando una línea de leal origen, recibe el nombre de vector de posición o vector anclado. Además, si el vector ^u es elemento de IR², entonces ^u = (x, y).

En la siguiente gráfica ^u es un vector anclado, observemos los demás elementos que componen dicha gráfica:

Monografias.com

Podemos observar que:

^u = ux + uy donde ux = (x, 0) y uy = (y, 0)

Denotamos como || ^u || a la distancia del origen al punto (x, y) denominada magnitud del vector ^u y de donde obtenemos las siguientes conclusiones:

|| ^u || = (x² + y²)½

Cos(?) = x / || ^u ||

...