Probabilidad

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considerado una versión final.

AlejandroD. Zylberberg<alejandro@probabilidad.com.ar>

Versión Actualizada al: 4 de mayo de 2004

Independencia

Dos sucesos son independientes si el hecho de conocer que ocurrió uno de ellos no afecta

la probabilidad de que ocurra el otro.

Consideremos por ejemplo los siguientes sucesos:

A: Argentina le gana hoy a Brasil en el partido de fútbol

B: Esta noche hay luna llena

C: Sube el precio de los autos nuevos

D: Se reduce la cantidad de gente que compra autos nuevos

Dijimos que dos sucesos son independientes si el hecho de conocer que ocurrió uno de

ellos no afecta la probabilidad de que ocurra el otro.

Hoy Argentina y Brasil jugarán un partido de fútbol, y con nuestro conocimiento

futbolístico llegamos a la conclusión de que la probabilidad de que Argentina le gane hoy

a Brasil es de 0,6.

En ese momento miramos por la ventana y nos damos cuenta de que hoy hay luna llena.

¿Eso modificará nuestra creencia de que la probabilidad de que Argentina le gane a Brasil

es 0,6? Es decir, la probabilidad de que gane Argentina en una noche que hay luna llena,

¿podríamos decir que es distinta de la probabilidad de que gane Argentina en una noche

cualquiera? Probablemente no, a menos que seamos expertos en astrología y “sepamos”

que los astros afectan el desempeño de los futbolistas de distintos países.

Dicho de otra forma, P(A) = 0,6 y además P(A/B) = 0,6 (porque el hecho de saber que

ocurrió B no afecta la probabilidad de que ocurra A).

Vemos que P(A) = P(A/B) es una forma matemática de expresar lo que dijimos antes de

que dos sucesos son independientes si el hecho de conocer que ocurrió uno de ellos no

afecta la probabilidad de que ocurra el otro.

Supongamos que la historia hubiera sido distinta: Sabemos que la cuarta parte de los días

hay luna llena, y entonces P(B) = 0,25. Si alguien nos pregunta: “¿cuál es la probabilidad

de que el 26 de abril de 1982 haya habido luna llena?”, responderemos: “0,25”. Luego la

persona nos dice: “¿Estás seguro? Mirá que ese día Argentina le ganó a Brasil”.

¿Modificaremos entonces nuestra respuesta? Probablemente no, a menos que a la luna le

guste ponerse llena cuando Argentina le gana a Brasil.

Dicho de otra forma, P(B) = 0,25 y además P(B/A) = 0,25 (porque el hecho de saber que

Argentina le ganó a Brasil no afecta la probabilidad de que haya habido luna llena).

Observamos entonces que en este ejemplo también vale P(B) = P(B/A). Y si hacemos las

correspondientes cuentas, también veremos que se verifica P(A Ç B) = P(A) . P(B)

Daremos a continuación la definición y luego demostraremos las equivalencias:

Dos sucesos A, B son independientes

<=>

P(A/B) = P(A)

<=>

P(B/A) = P(B)

<=>

P(A Ç B) = P(A) . P(B)

Verificaremos las equivalencias:

Si se cumple P(A/B) = P(A), aplicamos la definición de probabilidad condicional del lado

izquierdo y nos queda: P(A Ç B) / P(B) = P(A), luego P(A Ç B) = P(A) . P(B)

Si pensamos el P(A Ç B) como P(B Ç A) y aplicamos nuevamente la definición de

probabilidad condicional del lado izquierdo, nos queda P(B/A) . P(A) = P(A) . P(B), luego

P(B/A) = P(B), con lo cual verificamos la equivalencia de las 3 expresiones.

Pasando a los sucesos C y D, aún sin saber mucho de economía nos imaginamos que debe

haber una cierta relación entre los precios y la cantidad de compradores. No nos resultaría

extraño que la probabilidad de que se reduzca la cantidad de compradores de autos nuevos

en un país donde ha aumentado el costo de los autos nuevos sea mayor que en un país

cualquiera en el cual no sabemos si aumentó o no aumentó el costo de los autos nuevos.

Supongamos que del anuario de la sociedad internacional de automóviles sacamos los

siguientes datos:

En el año 1995, en el 25% de los países se redujo la cantidad compradores de autos

nuevos. En el 30% de los países subió el costo de los autos nuevos. Y en el 80% de los

países en los cuales subió el costo, bajó la cantidad de compradores. Es decir:

P(D/C) = 0,8

P(D) = 0,25

P(C) = 0,3

Vemos que P(D/C) ¹ P(D) por lo tanto los sucesos C y D no son independientes, por lo

tanto tampoco se cumplen las otras dos definiciones y entonces P(C/D) ¹ P(C) y también

P(C Ç D) ¹ P(C) . P(D)

A continuación hagamos los diagramas de Venn de los dos ejemplos dados:

Independientes

(se cumplen las definiciones)

No independientes

(no se cumplen las definiciones)

Casos especiales de dependencia

· Sucesos disjuntos:

Si los sucesos son disjuntos, el hecho de que ocurra uno implica que el otro no ocurre. Es

decir, en el caso de que sean disjuntos, el hecho que un suceso ocurra no solamente afecta

la probabilidad de que el otro ocurra, sino que además la hace directamente cero. Por lo

tanto los sucesos son fuertemente dependientes.

Si el suceso R es que una persona sea rubia y el suceso M es que sea morocha, R Ç M =

Æ, y por lo tanto si se sabe que una persona es rubia la probabilidad de que sea morocha

es cero y también si se sabe que una persona es morocha, la probabilidad de que sea rubia

es cero. Vemos que por tratarse de sucesos disjuntos, el hecho de que ocurra uno hace que

la probabilidad no solamente sea afectada sino que además la hace valer cero.

· Un suceso incluido en otro:

Si un suceso está incluído en otro, al ocurrir el de “adentro” necesariamente ocurre

también el de “afuera”. Es decir, el hecho de que haya ocurrido el de “adentro” modifica

la probabilidad de que ocurra el de “afuera”, y de hecho la hace uno.

Si el suceso N es haya nubes un determinado día haya nubes y el suceso L es que llueva,

notamos que L Ì N. El hecho de saber que un día llovió hace que la probabilidad de que

haya habido nubes sea 1, con lo cual el hecho de saber que ocurrió L afecta la

probabilidad de N. Y también el hecho de saber que hubo nubes no necesariamente

implicará que llueva, pero en general afectará la probabilidad de que llueva, porque

recordemos que aceptar que “hay nubes” implica meterse en un espacio muestral en el

cual “hay nubes”, y

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