Problema fisica MRUA

Un esquiador deja la rampa de salto de esquí con un avelocidad de 10.0 m/s que 
forma un ángulo de 15° con la horizontal. La pendiente está inclinada 50.0° y la 
resistencia del aire es despeciable. Hallar 
(a) La distancia desde la rampa hasta el punto donde el saltador aterriza 

[pic 1]

Se trata de encontrar el punto de corte de la trayectoria del esquiador con la pendiente de la montaña. 

La trayectoria del esquiador se calcula teniendo en cuenta que: 

1 - el movimiento horizontal es un mru con velocidad vxi = vi*cos15 = 10*cos15 m/s, luego en el eje x la trayectoria cumple: 

x = 10*cos15 * t => 
x = 9,66 * t 

2 - el vertical es un mrua con velocidad inicial vyi = vi*sen15 = 10*sen15 m/s y aceleración igual a la de la gravedad, g=10m/s2 (tomamos g=10 m/s2 por facilidad, luego en el eje y la trayectoria cumple: 

y = 10*sen15 * t - 1/2 * g * t^2 => 
y = 2,59 * t - 5 * t^2 

Podríamos ahora despejar t en la ecuación de x y sustituirlo en la ecuación de y para tener la trayectoria del esquiador, pero como solo nos interesa el corte con la pendiente, es más fácil trabajar a partir de la ecuación de la pendiente. 

La pendiente es una recta, y como nos dicen que está inclinada 50º (hacia abajo se sobreentiende), aplicando la definición de tangente de un ángulo, tenemos que la pendiente cumple: 

y/x = - tan50 => 
y/x = - 1,19 

(NOTA: signo menos porque va hacia abajo) 

Y el punto de corte de la trayectoria con la pendiente tiene que cumplir las tres ecuaciones anteriores: 

x = 9,66 * t 
y = 2,59 * t - 5 * t^2 
y/x = - 1,19 

Por tanto podemos encontrar el tiempo que trascurre hasta el aterrizaje fácilmente sustituyendo la primera y la segunda en la tercera: 

(2,59 * t - 5 * t^2) / 9,66 * t = - 1,19 => 
0,268 - 0,518 * t = -1,19 

Lo que nos permite deducir fácilmente el instante del corte de la trayectoria con la pendiente: 

t = (-1,19 - 0,268) / - 0,518 = 2,81 s 

Y una vez obtenido el tiempo, calcular la distancia desde el salto hasta el aterrizaje es trivial: 

La distancia horizontal se saca del la ecuación de la componente x de la trayectoria del esquiador: 

x = 9,66 * t => 
distancia_horizontal = 9,66 * 2,81 = 27,19 m 

La vertical la podemos sacar de la ecuación de la componente y de la trayectoria del esquiador o, más fácilmente, de la relación entre x e y: 

De la relación entre x e y: 

y/x = - 1,19 => 
distancia-vertical = |-1,19 * 27,19| => 
distancia-vertical = |-32,36| => 
distancia-vertical = 32,36 m 

Y si usamos la ecuación de la componenete y de la trayectoria del esquiador: 

y = 2,59 * t - 5 * t^2 => 
distancia-vertical = |2,59 * 2,81 - 5 * 2,81^2| => 
distancia-vertical = |-32,32| => 
distancia-vertical = 32,32 m 

Que es la misma distancia vertical de antes (sale algo diferente por el redondeo). 

Finalmente, si lo que buscamos es la distancia total, la podemos calcular aplicando el teorema de pitágoras: 

distancia = raiz (distanci-horizontal^2 + distancia-vertical^2) 
distancia = raiz (27,19^2 + 32,36^2) = 42,27 m 
distancia = 42,27 m 

(b) 

Para calcular la velocidad del aterrizaje solo tenemos que aplicar las correspondientes expresiones de la velocidad en x y en y: 

En x sabemos que se trata de un mru, luego la velocidad es constante y vale: 

vx = vxi = vi*cos15 => 
vx = 10*cos15 => 
vx = 9,66 m/s (constante) => 
vhorizontal-aterrizaje = 9,66 m/s 

Mientras que en y se trata de un mrua y por tanto su velocidad ´varía con le tiempo, y vale: 

vy = vyi - g*t => 
vy = vi*sen15 - 10*t 
vy = 2,59 - 10*t 

y en el instante del aterrizaje: 

vvertical-aterrizaje = 2,59 - 10*2,81 => 
vvertical-aterrizaje = -25,51 m/s (negativa porque va hacia abajo) 

Y la velocidad absoluta la calculamos usando Pitágoras: 

vaterrizaje = raiz (vhorizontal-aterrizaje^2 + vvertical-aterrizaje^2) => 
vaterrizaje = raiz (9,66^2 + 25,5^2) = 27,28 m/s 

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