RE: Diagrama de dispersión

1.

Diagrama de dispersión

La distribución de los datos tiene una tendencia lineal positiva. Por tal motivo se puede sugerir una relación lineal entre la altura de los abetos y su diámetro a la altura del pecho. La forma en la que los datos se agrupan, en su mayoría en el centro, permite pensar que estos siguen una distribución normal.

Para encontrar los coeficientes de regresión mediante el método de mínimos cuadrados ordinarios se utilizó la siguiente fórmula matricial:

β ̂=(X^' X)^(-1) X^' Y

Donde:

X, es una matriz de 36 filas por 2 columnas, siendo la primera columna un vector de unos y la segunda los datos de la variable explicativa (diámetro del árbol).

Y, es el vector de datos que representa la variable dependiente ‘altura del árbol’.

β ̂, es el vector que contiene los parámetros de la regresión, en este caso intercepto y pendiente respectivamente.

β ̂=(β ̂_0¦β ̂_1 )=(9.1468¦0.4815)

Estos estimadores indican que la relación entre las variables ‘altura del abeto’ y ‘diámetro del abeto a la altura del pecho’ no es exacta o determinística, esto debido a que existen otras variables que afectan la altura del abeto como la edad, las condiciones del suelo donde crece, entre otras. No se puede decir que existan abetos con cero centímetros de diámetro y que su altura sea 9.18 metros. Si el intercepto del modelo fuera en 0 se podría decir la altura de los abetos dependen únicamente del diámetro de estos a la altura del pecho.

La altura de un abeto aumenta en promedio 0.4815 metros por cada incremento de un centímetro de diámetro a la altura del pecho.

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN CON AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS

Este grafico muestra que puede existir una relación lineal entre los datos observados, esta

relación se puede expresar como:

y ̂=β ̂_0+β ̂_1 X

y ̂=9.1468+0.4815X

Para definir si los datos del diámetro a la altura del pecho contribuye con información suficiente para la predicción de la altura del árbol se define la siguiente prueba de hipótesis:

Hipótesis nula H0: β ̂1 = 0

Hipótesis alterna H1: β ̂1 ≠ 0

La hipótesis nula hace referencia a que la variable asociada al parámetro no es estadísticamente significativa; la hipótesis alterna hace referencia a que la variable asociada al parámetro si es estadísticamente significativa.

Para tomar una decisión se recurre a la comparación de la significancia (α = 0.05) y la probabilidad asociada al estadístico de prueba (α ̂= 2.089255*〖10〗^(-9)) teniendo en cuenta los siguientes criterios:

α ̂<α : Se rechaza H0

α ̂>α : No se rechaza H0

El p-valor para este caso fue hallado por medio de una distribución t evaluada en el tc con 34 grados de libertad.

Como se puede ver este caso cumple con el primer criterio, por lo que la decisión que se toma es rechazar H0. Se concluye entonces que el diámetro a la altura del pecho de los abetos contiene información estadísticamente significativa para explicar la altura del abeto.

Aplicando el modelo de regresión simple para la altura de los abetos se obtuvo lo siguiente:

y ̂=9.1468+0.4815X

y ̂_((20) )=9.1468+0.4815(20)

y ̂_((20) )=18.7763

Para conocer el intervalo de confianza se usó:

(y_p ) ̂±t_((n-p , 1-∝⁄(2))) (σ_(y_p ) ̂ ) ̂

Donde:

(y_p ) ̂, es la predicción de la altura del árbol, 18.7763 m, con un diámetro de 20 cm a la altura del pecho.

t_((n-p , 1-∝⁄(2))), es el valor de una t-student con 34 grados de libertad y una significancia de 0.1, correspondiente a 1.69092.

(σ_(y_p ) ̂ ) ̂, es la desviación estándar de la predicción.

(σ_(y_p ) ̂ ) ̂=√(Var((y_p ) ̂ ) )

Var((y_p ) ̂ ), es la varianza de la predicción.

σ^2, es la varianza del error o el cuadrado medio del error.

S_xx , es la suma de cuadrados de X o la varianza poblacional por el número de datos (n=36), equivalente a 790.4697.

La altura promedio de los abetos blancos del norte con un diámetro a la altura del pecho de 20 cm es de 18.7763 m con un intervalo de confianza al 90% entre:

(15.8945 m ,21.6581 m)

De los datos encontrados se puede afirmar que la altura esperada de los abetos es de aproximadamente 18.8 metros con una variación de más o menos 2.9 metros. El error en términos generales equivale al 15.3% aproximadamente.

2.

Q ̂_t= β ̂_0+β ̂_1 P_t+β ̂_2 Y_t+β ̂_3 Z_t

Q ̂_t=20.2572-0.5716P_t+0.0346Y_t+0.5918Z_t

Por los valores resultantes para los estimadores de los parámetros se puede concluir que:

Por cada centavo que aumenta el precio de la libra al menudeo de carne de cerdo disminuye el consumo anual per cápita en promedio 0.5716 libras

Por cada dólar que aumenta el ingreso personal disponible el consumo de carne de cerdo aumenta 0.0346 libras al año per cápita

Por cada centavo que aumenta el precio de los productos sustitutos/complementarios de la carne de cerdo aumenta el consumo anual per cápita en promedio 0.5918 libras. Para este caso en particular vale la pena aclarar que dado el comportamiento del parámetro que acompaña a la variable Z (β ̂_3=0.5918 ), esta variable debe contener información que se refiere únicamente al precio de los productos

...