RECTA Y EL PLANO
Enviado por zxccaa • 11 de Febrero de 2015 • 15.593 Palabras (63 Páginas) • 273 Visitas
TEMA : LA RECTA Y EL PLANO
EN EL ESPACIO
R
N
N
u
u
* Ecuación vectorial de la recta.
Ecuación vectorial de la recta R
R
p = po + t u
p - po
u = ( a , b , c ) con t = un parámetro escalar
p
po
p - po = t u
O O = origen de coordenadas
po = vector de posición de un punto conocido de la recta = ( xo , yo , zo )
u = un vector conocido paralelo a la recta = ( a , b , c )
p = el vector de posición de cualquier punto sobre la recta = ( x , y , z )
Al cambiar el parámetro t el vector u puede desplazarse sobre la recta R hacia un lado u otro del punto conocido po con lo que obtenemos el vector de posición p de cualquier punto sobre la recta.
Si sustituimos las componentes de los vectores po , u y p en la ecuación vectorial tendríamos:
( x , y , z ) = ( xo , yo , zo ) + t ( a , b , c )
y si igualamos componente a componente en la ecuación llegamos a lo que se conoce como las ecuaciones paramétricas de la recta R
x = xo + a t
L : y = yo + b t
z = zo + c t
Si despejamos el parámetro t de cada una de estas ecuaciones paramétricas, llegamos a lo que se conoce como las ecuaciones en forma simétrica de la recta R
L : x - xo = y - yo = z - zo = t
a b c
* Ejercicio: Determine la ecuación de la recta con:
a) P0( 3 , - 2 , 4 ) u = ( - 2 , 4 , 3 )
b) P0 ( 3 , - 4 , - 1 ) P1( - 5 , 4 , 7 )
c) P0( 3 , 2 , - 1 ) y es perpendicular a las rectas L1 y L2
L1 : p = ( 5 , 2 , - 5 ) + t ( - 3 , 1 , 2 ) L2 : 2x – 2 = y + 2 = 2 – 2z
6 - 2
* Distancia de un punto a una recta
Se trata de encontrar la mínima distancia entre un punto y una recta, por lo que debe ser medida en forma perpendicular a la recta.
Q Del triángulo formado por Po , P1 y Q
d sen = d = │ ( q - po ) x u │
q - po R
│ ( q - po ) │ │ ( q - po ) ││ u │
P1
despejando a la distancia llegamos a:
Po u
q
d = │ ( q - po ) x u │
po u
O
= ángulo entre los vectores ( q - po ) y u
En el mismo triángulo, podemos obligar el Teorema de Pitágoras, de donde:
│ ( q - po ) │2 = ( PoP1 )2
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