Regla de la cadena, derivacion implicita, derivadas direccionales y vector gradiente

Regla de la cadena, derivacion implicita, derivadas direccionales y vector gradiente

Cristhian Alberto Sandoval Leon1

1Estudiante de ingeniería electrónica, Universidad Industrial de Santander, Colombia
Correo electrónico: cristhian.sandoval@saber.uis.edu.co

Fecha de elaboración 08/09/2017

Resumen— En el siguiente documento se encontrara un pre informe sobre las temáticas que se van estudiar en la cuarta semana de clase de cálculo III. El objetivo general de este pre informe es el estudio y la  preparación previa de los temas que se van a ver en la semana de clase para así poder facilitar el estudio de los temas de la materia y además lograr reforzar los temas durante las clases que tendremos durante la semana. En este pre informe se podrá encontrar  un marco teórico el cual explicara  sobre la regla de la cadena, derivación implícita, derivadas direccionales y vector gradiente. Una metodología en la cual se van a resolver algunos ejercicios sobre los temas mencionados en este pre informe, además en el análisis se explicara un poco que métodos se usaron para resolver los ejercicios propuestos en la metodología así como algunos aportes por parte del estudiante .En conclusión estos temas nos ayuda a ampliar el concepto de derivadas en las funciones multi variables agregando otras reglas para el cálculo de derivadas en estas funciones así como también veremos como encontrar en una función multi variable la tasa de cambio en una dirección indicada, esto por medio de la derivada direccional. Para la realización de este pre informe se consultaron los temas, ecuaciones, definiciones en algunos  libros matemáticos así como también se realizaron consultas en páginas web relacionadas con los temas. Los libros y enlaces de las páginas web consultadas se encontrarán en las referencias bibliográficas.

Palabras clave—

              Derivación implícita---- (implicit derivation)

             Derivadas direccionales--- (directional derivatives)

             Regla de la cadena--- (chain rule)

            Vector gradiente---- (vector gradient)

1. Introducción

El principal objetivo de este pre informe como se ha mencionado en el resumen es el estudio y preparación previo de los temas que se van a ver en clase, así como también entender un poco como se resuelven problemas relacionados con los temas de este pre informe y además lograr  ver qué utilidad pueden tener en la vida cotidiana o en la ingeniería estos temas. Esto nos va ayudar a que durante las clases ya tengamos una idea de los conceptos que se van a manejar y así lograr entender mejor los temas. Respecto a la importancia de estos temas en la ingeniería electrónica son algo parecidos a los mencionados en anteriores pre informes pues en este seguiremos hablando sobre derivadas. Una aplicación puede ser el análisis de la ecuación de Laplace, otra aplicación que es común es en el análisis de circuitos ya sea en la ley de ohm o Kirchhoff, también se puede aplicar para el modelado de la corriente en circuitos eléctricos pues como se sabe el voltaje es la derivada de la corriente, otra aplicación puede ser en la transmisión y recepción de señales (ondas) y una aplicación del vector gradiente se pude dar en el electromagnetismo específicamente en el campo electrostático que deriva del potencial eléctrico.

La historia o primer hallazgo de estos temas se dan cerca del año 1675 es decir siglo XVII cuando se da origen a lo que modernamente se conoce como  calculo diferencial , los principales autores del cálculo diferencial son Isaac Newton y Gottfried Leibniz los cuales desarrollaron diferentes reglas de derivación y sintetizaron dos conceptos a finales del siglo XVII los cuales conocemos  hoy como derivadas e integrales. Es decir por ejemplo la regla de la cadena fue introducida por Isaac newton aunque respecto a las derivadas direccionales están fueron introducidas mucho tiempo después en el año 1925 y además estas derivadas son un caso especial de la derivada de Gâteaux.

A continuación veremos en el pre informe un marco teórico en el cual se encontraran ecuaciones conceptos y reglas sobre los temas propuestos, una metodología donde se resolverán ejercicios sobre los temas de este pre informe, después veremos un análisis el cual hablara sobre cómo se resolvieron los ejercicios propuestos en la metodología así como algún aporte que tenga el autor, a continuación del análisis veremos las conclusiones sobre lo desarrollado en este pre informe y por ultimo las referencias bibliográficas donde se consultó el marco teórico y aspectos mencionados en esta introducción.

2. Aproximación Teórica.

Regla de la cadena y derivación implicita

Para ver la definición de la regla de la cadena en una función multi variable primero recordaremos cómo funcionaba esta regla para una función de una sola variable. Esta regla indicaba que si y=f(x) es una función diferenciable de x, y x=g(t) es una función diferenciable de t, entonces la derivada de la función compuesta es:

[pic 2]

Ya recordado esto ahora veremos cómo funciona la regla de la cadena para una función multi variable (Zill, 2011).

Regla de la cadena para derivadas ordinarias: si z=f(x,y) y x,y son funciones de una sola variable t entonces suponga que z=f(x,y) es diferenciable en (x,y) y x=g(t) y que y=h(t) son funciones diferenciables en t. Entonces z= f (g(t),h(t)) es una función diferenciable de t y:

[pic 3]

(Zill, 2011).

Regla de la cadena para derivadas parciales: Para una función compuesta de dos variables z=f(x,y), donde x=g(u,v) y y=h(u,v) se esperaría dos fórmulas análogas a (2), ya que z=f(g(u,v),h(u,v)) y por ello puede calcularse tanto  /  como / . Enronces la regla de la cadena para funciones de dos variables seria:[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Si z=f(x,y) es diferenciable y x=g(u,v) y y=h(u,v) tienen primeras derivadas parciales continuas entonces:

[pic 8]

(Zill, 2011).

Diagrama de árbol: Los resultados de la ecuación (2) se pueden memorizar por medio de un diagrama de árbol como el siguiente:[pic 9]

                              Imagen 1: ejemplo diagrama de árbol para la regla de la cadena

        Fuente:https://sites.google.com/site/portafoliocalculovect/home/segundoparcial/regla-de-la-cadena

Entonces para hallar las derivadas lo que debemos hacer es leer el diagrama verticalmente hacia abajo y seguir los caminos de x y y y al final sumarlos como se ve en la imagen para obtener/  debemos seguir el camino desde z hasta u tanto en x como en y, y luego al final sumar los dos caminos los mismo se hace para hallar /  (Zill, 2011).[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

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