SISTEMA DE NUMERACIÓN

SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN

Es un conjunto de leyes y principios que nos permite representar en forma correcta a los números.

Principios fundamentales

1. De lugar y orden:Toda cifra que forma parte de un numeral posee un lugar y un orden. El lugar se ubica de izquierda a derecha del numeral (1.a; 2.a; ... cifra) y el orden de derecha a izquierda (orden; 0; 1; 2; 3; ...)

Ejemplo:

De la Base: Todo numeral siempre está dado en una base, que nos indica cuántas unidades de un orden cualquiera se necesitan para formar una unidad del orden inmediato superior.

Principales sistemas de numeración:

Base Nombre del SistemaCifras por utlilizar

2 Binario 0; 1

3 Ternario 0; 1; 2

4 Cuaternario 0; 1;2;3

5 Quinario 0;1;….;4

6 Senario 0;1;….;5

7 Heptanario 0;1;….;6

8 Octanario 0;1;….;7

9 Nonario 0;1;….;8

10 Decimal 0;1;….;9

11 Undecimal 0;1;….;9;10=a

12 Duodecimal 0;1;….;9;10=b;11=c

Representación literal de un numeral

Cuando no se conocen las cifras de un numeral, estas se representan mediante letras minúsculas.

Ejemplos:

: numeral de 2 cifras en base 10

: Numeral de 3 cifras en base 6

: Numeral de 3 cifras en base 12

Numeral capicúa

Son aquellos numerales cuyas cifras que equidistan de los extremos son iguales.

Ejemplos:

* 66 * 454 * 5665 * 34643

* * *

Descomposición polinómica de un numeral

Se define como la suma de los valores relativos de todas las cifras de dicho numeral.

Ejemplos:

417 = 4 x 102 + 1 x 101 + 7

748g = 7x92 + 4x91 + 8

En general:

Descomposición polinómica por bloques

Llamaremos "bloque" a un grupo de cifras.

Ejemplos:

Cambios de base en los sistemas de numeración

A) De base "n" a base 10

Método I: Descomposición polinómica

Ejemplo:

Convertir: 436(7) a base 10.

436(7) = 4.72 + 3.7 + 6 = 196 + 21 + 6436(7) = 223

Método II:Ruffini

Ejemplo:

Convertir: 436(7) a base 10

436(7) = 223

B) De base 10 a base "n"

Método: Divisiones sucesivas

Ejemplo:

Convertir 618 al sistema quinario.

618 = 4433(5)

C) De la base "n" a base "m" (m 10) y (n 10)

Método indirecto: Se convierte el número dado del sistema de base "n" al sistema decimal, y de aquí, al sistema de base "m".

Ejemplo:

Convertir: 243(6) al sistema de base 7.

1.er paso: 243(6) a base 10 (descomposición polinómica)

243(6) = 2.62 + 4.6 + 3 = 99

2.o paso: 99 se convierte a base 7 (divisiones sucesivas)

Luego: 243(6) = 201(7)

PROPIEDADES

1) Numeral de cifras máximas

• 9 = 101 – 1

• 99 = 102 – 1

• 999 = 103 – 1

. .

. .

. .

•

En otras bases:

• 78 = 81 – 1 • 56 = 61 – 1

• 778 = 82 – 1 • 556 = 62 – 1

• 7778 = 83 – 1 • 5556 = 63 – 1

. . . .

. . . .

. . . .

• •

En general:

Bases sucesivas: A base 10

139 = 9 + 3 = 12

En general:

Cantidad de numerales con cierta cantidad de cifras

• Numerales de 2 cifras de la base 10

Numerales de 4 cifras de la base 5

A base 10

En general:

Si Nb tiene "n" cifras, entonces está acotado de la siguiente manera:

Casos especiales en los cambios de base de los sistemas de numeración

1.er caso (de base n a base nk, )

Procedimiento:

• El numeral se descompone en bloque de k cifras a partir de la cifra de 1er orden.

• Cada bloque se descompone polinómicamente, y el resultado es la cifra en la nueva base.

Ejemplo 1:

Expresar 2212213 en el sistema nonario.

Resolución:

Como 9 = 32 cada bloque debe tener 2 cifras.

2.ºcaso (de base nk a base n, )

Procedimiento:

• Cada cifra del numeral genera un bloque de k cifras.

• Las cifras de cada bloque se obtienen mediante divisiones sucesivas.

Ejemplo 2:

Exprese 5479 en el sistema ternario.

Resolución:

Como 9 = 32 el bloque debe tener 2 cifras.

805479 = 1211213

Propiedades adicionales

Numerales a base 10

• 11n = (n + 1), n > 1

• 121n = (n + 1)2, n > 2

• 1331n = (n + 1)3, n > 3

• 14641n = (n + 1)4, n > 6

1) Sabiendo que 1011(4) = el valor de a + b + c es:

A. 6 B. 7 C. 8

D. 9 E. 10

2) Si: ; Calcular: a + b + c

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 10

3) (UNT)Si : Hallar : a + b + c

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

4) (UNT 2010 II D)Si

la suma de cifras de N, al ser expresado en base 10, es:

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

5) Sean los números , , , si la suma de los 2 primeros es igual al tercero. El numeral en base diez se escribe:

A.48 B. 49 C. 50

D. 52 E. 54

6) (EX 2008 II )Si = 350, entonces (a+b–n) es:

A) 3 B) 2 C) 1

D) 0 E) –1

7) (UNT)Un número se presenta como 354 y 455 en dos bases consecutivas. Hallar el número expresado en el sistema decimal, y dar como respuesta

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