Serie Binomial
Enviado por q3.1416 • 21 de Enero de 2014 • 1.456 Palabras (6 Páginas) • 792 Visitas
SERIE BINOMIAL
TEOREMA DEL BINOMIO Y DEDUCCIÓN DE LA SERIE
El teorema del binomio establece que si a y b son números reales cualesquiera, y k es un número entero positivo, entonces:
(a + b) k
La notación tradicional de los coeficientes binomiales es:
con n=1,2,…, k
Que permite escribir el teorema del binomio en forma abreviada
(a + b) k =
Si a = 1 y b = x, se obtiene:
(1 + x) k =
En este caso (1 + x) k ya no es una suma finita y se convierte en una serie infinita y para determinarla se hace uso de la serie de Maclaurin de (1 + x) k:
f (0) = 1
. .
. .
. .
f^((n) ) (x)=k(k-1)…(k-n+1)(1+x)^(k-n)
La serie de Maclaurin de f(x) = (1 + x) k es:
Esta serie se denomina serie binomial si su n-ésimo término es an.
El criterio de la razón es útil para determinar los valores de convergencia de la serie:
|x| |x|→ |x| como
Así se tiene que, la serie binomial converge si |x| < 1 y diverge si |x| > 1
DEFINICIÓN DE LA SERIE DEL BINOMIO
Si k es cualquier número real y si |x| < 1, entonces:
En donde y
Aunque la serie binomial converge cuando |x| < 1 y diverge para |x| > 1, la convergencia en los extremos + 1, depende de los valores de k:
La serie converge en 1 sí .
La serie converge en -1 y 1 sí
Es de destacar que si k es un entero positivo y n > k, entonces la expresión contiene un factor (k-k), de modo que =0 para n > k. Cuando esto sucede, la serie termina y se reduce al teorema del binomio sí k es un entero positivo. (Stewart, 2002, pp. 762, 763)
Ejemplos y aplicaciones
La serie binomial se utiliza para la estimación de potencias y raíces de expresiones binomiales de la forma (1 + x) k. También se utiliza para evaluar integrales no elementales. (Thomas, 2010, p. 596)
Leithold (1998) propone “Expresar como serie de potencia en x, la siguiente expresión: y obtener una serie
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