Series Numéricas

Serie

Una serie numérica es un conjunto de números ordenados que siguen un patrón, el patrón es la relación que existe entre los números que forman la serie.

A la suma de una sucesión de términos se denomina serie y el valor de dicha suma, si es que tiene

alguno, se define como

S=limS n .

n→∞

Serie infinita

Si {αn} es una sucesión infinita, entonces:

∑_(n=1)^∞▒〖a_n=a_1+a_2+a_3 〗+⋯+a_n+⋯

Se llama serie infinita o simplemente serie.

Convergencia

Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

Convergencia absoluta

Si es une serie a valores en un espacio vectorial normado completo, se dice que es absolutamente convergente si la serie de término general es convergente. En este caso, la serie converge.

Criterios de convergencia para series de números reales positivos.

Criterio de D'Alembert

También llamado Criterio del cociente o Criterio de la razón: sea una serie de términos estrictamente positivos; si

,

Entonces el Criterio de D'Alembert establece que si , la serie converge.

Criterio de la raíz:

Si los términos son estrictamente positivos y si existe una constante tal que , entonces es convergente.

Criterio de Raabe

Sea una serie , tal que (serie de términos positivos). Si existe el límite

, siendo

entonces, si la serie es convergente y si la serie es divergente.

Criterio de la integral de Cauchy

Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo

[1, ∞) tal que f(n) = an para todo n, entonces converge si y sólo si es finita.

Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞], la serie

converge si y sólo si la integral

converge.

Criterio de Cauchy

Una serie a valores en un espacio vectorial normado completo es convergente si y solo si la sucesión de sumas parciales es de Cauchy:

.

Criterio de condensación de Cauchy

Sea una serie monótona de números positivos decrecientes. Entonces converge si y sólo si la serie converge.

Criterio de Leibniz

Una serie de la forma (con ) se llama serie alternada. Tal serie converge si se cumplen las siguientes condiciones:

a) para n par y n impar.

b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente, es decir que: .

Si esto se cumple, la serie es condicionalmente convergente, de lo contrario la serie diverge.

Nota: Se debe descartar primero la convergencia absoluta de antes de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.

Criterios de convergencia comparativos

Son aplicables en caso de disponer de otra serie tal que se conozca su condición de convergencia o no-convergencia.

Criterio de comparación directa

(O de Gauss)

Si

Si converge converge

Si diverge diverge.

Criterio de comparación por paso al límite del cociente

Sean y series de términos no negativos. Si existe

, entonces:

Si y la serie converge entonces converge.

Si y diverge entonces diverge.

Si entonces las series y comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).

Serie geométrica

Una serie geométrica es una serie en la cual la razón entre los términos sucesivos de la serie permanece constante.

Por ejemplo la serie

es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por 1/2.

El comportamiento de los términos depende de la razón común r:

Si

...