Sistema De Numeracion

“Enseñar Matemática en la escuela Primaria”

EL SISTEMA DE NUMERACIÓN

-¿Para qué sirven los números?

Los números sirven para guardar en la memoria una cantidad, y así poder comunicarla a otros, saber cuántos tengo, a lo largo del tiempo y del espacio. A esta función se la denomina memoria de la cantidad. El número también posibilita la comparación de cantidades. Esta función está ligada con el aspecto cardinal del número.

A su vez los números tienen la función de memorizar posiciones. Este es el aspecto ordinal del número. Los números permiten anticipar acciones aún no realizadas, es decir, se pueden realizar cálculos.

Desde temprana edad, los chicos están en condiciones de realizar anticipaciones con cantidades pequeñas.

Los números también se usan para identificar objetos, es decir, se usan como códigos. En estos casos no representan cantidades ni un orden. Por ejemplo, código de barras, número de colectivo, etc.

Considerar las funciones, el para qué de los números, permitirá que los docentes seleccionan tipos de problemas y secuencias de actividades, para crear situaciones propicias para la intervención didáctica. Número y sistema de numeración son contenidos que atraviesan todos los años de la escolaridad básica.

-¿Qué propiedades tiene nuestro sistema, qué leyes lo rigen?

Nuestro sistema de numeración es posicional, de base diez. En la numeración escrita la suma y la multiplicación se aplican siempre de la misma manera: se multiplica cada cifra y se suman, luego, los productos resultantes de esa multiplicación.

Este sistema implica una gran economía porque se pueden escribir infinitos números a partir de diez símbolos; pero, a su vez, oculta las operaciones antes mencionadas.

Es importante saber que el conocer el funcionamiento de otros sistemas permite desnaturalizar el del nuestro y aprender más sobre el.

-¿Qué las investigaciones respecto a los conocimientos que poseen los niños?

Diversas investigaciones en el campo de la didáctica de la matemática plantean que los niños han construido conocimientos sobre nuestro sistema, aun cuando no se los haya enseñado explícitamente.

 Los niños elaboran hipótesis respecto de escrituras numéricas, algunos de ellos conocen algunos números antes que otros.

 Manejan la escritura de los números redondos: unidades, decenas y centenas ante que las escrituras de los números que se encuentran en los intervalos de la serie.

 Establecen relaciones respecto de la numeración hablada. Se apoyan en ella para producir escrituras.

-¿Presentamos los 100 primeros números desde el primer día de primer año? ¿Qué posibilita esta presentación?

Los niños llegan a la escuela con diversas ideas acerca de los números, ya que han visto a otros usarlos. El docente debe conocer estas ideas para ampliarlas, profundizarlas, difundirlas y someterlas a prueba. Estos conocimientos constituyen un punto de partida de los nuevos aprendizajes.

Resulta entonces imprescindible, desde primer año, crear un ambiente que sea propicio para la alfabetización matemática. Es decir, un aula donde estén presentes los números a través de diversos portadores conocidos y no conocidos.

El sistema de numeración se organiza conforme a reglas de cierto nivel de complejidad que no son evidentes para quienes se inician en su conocimiento.

Una presentación parcializada, fragmentada, enseñando los números de uno en uno, no favorece el trabajo de apropiación porque reduce el objeto de conocimiento a su mínima expresión y por ende el trabajo didáctico posible.

Se proponen intervenciones didácticas que el docente planificará con una frecuencia regular, para presentar los cien primeros números.

-¿Qué tipo de actividades son pertinentes trabajar en cada año?

a- El uso de los números en diversos contextos de la vida cotidiana: un tipo de problemas a seleccionar son los que hacen referencia al sentido y significado de los números en diversos contextos cotidianos para los niños. Este tipo de actividades permitirá crear un puente fuera de la escuela y dentro de ella. Para cada año escolar, as preguntas serán diferentes en función de un mayor conocimiento adquirido.

b- El dominio de un campo número específico: por dominio se entiende conocer a fondo, hacer foco en un campo de números. Dominar el ampo número implica saber leer, escribir, ordenar y comparar números.

c- Investigación, exploración, análisis, comparación y orden de grandes números: el aprendizaje de un campo numérico específico, no impide que se investiguen y se exploren grandes números. Su tratamiento hará pensar algunas cuestiones sobre los números menores y cómo los conocimientos que han adquirido se pueden extender a otros números.

d- Análisis del valor posicional: la enseñanza centrada en el sistema de numeración tiene que ocuparse también de analizar la relación entre la posición de una cifra y un valor. La cifra “3” en el número 34 adquiere un valor distinto por su posición que en el 43. Este análisis será necesario abordarlo a través de actividades donde se interactué con la escritura numérica.

-¿Cuál es el sentido de enseñar en los primeros años la unidad, la decena y la centena?

La enseñanza de la descomposición de los números en términos de unidades, decenas y centenas está asociada al funcionamiento de los algoritmos, esta asociada a la realización de estos (cuentas verticales).

La tradición escolar indicaba la presentación de la decena cuando se llegaba al número diez en la enseñanza de la serie y para ello se trabajaba con recursos didácticos como los ataditos de 10 para comprender las nuevas decenas.

Se propone iniciar el trabajo con descomposiciones aditivas de los números. Estas relaciones aditivas permiten que los niños se apoyen en la numeración oral.

El trabajo con las escrituras numéricas hará progresar a los niños en la idea en que con solo visualizar las cifras del número se puede saber cuántos “cienes, dieces, y unos” hay.

Se trata de proponer, con estas actividades, un trabajo didáctico que apunte a la argumentación y justificación por parte de los niños, incluso poniendo en duda una respuesta aunque sea verdadera.

-¿Cómo intervenir como docente cuando los niños escriben 1001 cuando se les dicta 101? ¿Y cuándo leen 34 por 43? ¿Cómo modificar estas interpretaciones?

Este tipo de construcciones, por parte de los niños, son intentos por escribir e interpretar los números que llevan a este tipo de escrituras no convencionales.

Cuando escriben 1001 en vez de 101, establecen una correspondencia entre la numeración hablada, los nombres de los números y su escritura. Si nos detenemos en qué oyen los niños cuando el docente les dicta el número “ciento uno” observaremos que en esta enunciación se escucha el cien y el uno. De ahí, la escritura 1001.

El segundo caso apunta a la interpretación de un número escrito, a su lectura. Nuevas investigaciones demuestran que los niños al enfrentarse al problema de la lectura de los números se apoyan en conocimientos ya construidos. La inversión de palabras se produce por los intentos de interpretación, acercamiento, reflexión que realizan los niños respecto de este objeto tan complejo como es el sistema de numeración.

Desde un punto de vista, estas respuestas de los niños pueden ser una falta de conocimientos, un error que hay que evitar. Desde el punto de vista de este enfoque teórico, estas respuestas son conocimientos que no se ajustan aún a la versión convencional. Se podrán ir modificando estas interpretaciones, trabajando con los números, en diversos juegos, actividades, argumentos y que validen sus conocimientos.

-¿Con que materiales didácticos contamos para enseñar el sistema de numeración? ¿Cuál es el uso que se le puede dar a esos materiales?

El objetivo es que los niños construyan las reglas del sistema interactuando directamente con él. Si en cambio, utilizan palitos sueltos y ataditos, constrirán un saber ligado a ese contexto y están en inferioridad de condiciones para generalizar esto a otro contexto. Si el trabajo se realiza directamente con los números tienen la ventaja de extender las reglas de un campo de números a otro.

En consecuencia, se plantea la enseñanza directamente con los números escritos, a través de los recursos didácticos, como por ejemplo las figuras geométricas, cuadro numérico, centímetro, uso de objetos, dibujos, para contar u ordenar. En todos los casos serán los problemas que se les planteen a los niños los que definirán el trabajo sobre estos recursos.

El conocimiento se construirá no por el material, sino por lo que se propone hacer con ese material.

ANÁLISIS COMPARATIVO DE LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

En primera instancia, para comprender el por qué de este análisis didáctico de la Matemática, es imprescindible tener noción de cómo su enseñanza ha ido variando con los años: El propósito de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria se fue desvirtuando con el tiempo; éstas dejaron de ser una herramienta para resolver una gran variedad de problemas, transformándose en un cúmulo de contenidos con escaso significado y reglas para combinarse entre sí.

Enseñar tiene como principal objetivo el aprendizaje del contenido que queremos transmitir por parte del alumno. Para ello, debemos tener en cuenta que si la enseñanza de la Matemática se realiza en forma contextualizada posibilitará una mejor comprensión del contenido inmerso en el contexto para luego acceder al objeto matemático descontextualizado permitiendo así un aprendizaje significativo.

Desde esta óptica el aprendizaje de la matemática está íntimamente ligado a la resolución de problemas, a la forma de aprender el sistema de numeración, así como también a los errores en el aprendizaje de la Matemática, lo que implica también las formas de representaciones que hacen que el contenido a enseñar tenga un significado concreto.

El desafío principal que plantearemos a partir de este trabajo implica cómo encontrar las herramientas y estrategias didácticas necesarias para llevar a cabo de manera eficaz y significativa la apropiación de los conceptos matemáticos que queremos enseñar.

Para comprender un poco más de qué estamos hablando, analizaremos a continuación la importancia que presenta el sistema de numeración en la didáctica de la Matemática. Para ello, debemos considerar que los niños llegan a la escuela con diversas ideas acerca de los números, ya que han visto a otros usarlos, ya sea por su paso en un nivel inicial o por estar inmersos en una cultura donde hay adultos que son usuarios del sistema de numeración.

A lo largo de este trabajo, propondremos a los lectores otras perspectivas sobre el sistema de numeración que permitirán problematizar la manera en que se desarrolla usualmente su enseñanza. En el inicio de la formación matemática escolar, cuando los niños se incorporan a la educación básica o primaria, el sistema de numeración es el elemento clave. La consideración del sistema de numeración como instrumento social implica que el análisis de este objeto que se requiere para diseñar su enseñanza no se agota en el conocimiento de sus aspectos matemáticos; requiere poner en juego otros saberes que no son los del especialista en el campo matemático. En esta dimensión, se requiere un análisis de las prácticas sociales que involucran la numeración escrita y de los intercambios que tienen lugar a propósito de esas prácticas.

A partir de lo abordado en el texto “Enseñar Matemática en la escuela primaria”, y en relación a los contenidos y temas que allí se presentan, abordaremos un análisis comparativo entre dos manuales del área de Matemática, correspondiente al nivel primario. Si bien ambos son de uso pertinente en la misma área, su diferencia se presenta en el año de producción editorial: uno de ellos es de uso actual en educación primaria (2010), mientras que el otro presenta varios años de antigüedad (2004) y prácticamente no es de uso vigente.

El objetivo de este trabajo será, por lo tanto, descubrir cuáles son las diferencias o cambios didácticos que podemos encontrar entre estos dos manuales. De esta forma, podremos comprender con mayor claridad cómo han variado los procesos y métodos de enseñanza en el área de Matemática, y cuál de ellos resulta más efectivo para los niños a la hora de llevar a cabo su aprendizaje y poner los contenidos en practica.

Los manuales escolares de enseñanza primaria que utilizaremos son:

- “Sombreritos Integrados 2”, AZ editora, Áreas integradas, año de edición: 2004, Buenos Aires, Argentina.

- “Dame la mano 2”, editorial Longseller, Áreas integradas, año de edición: 2010, Buenos Aires, Argentina.

¿Cuál es la propuesta de “Sombreritos Integrados 2”?

“Sombreritos Integrados 2” es un manual de áreas integradas, producido en el año 2004. En él se presentan estrategias y actividades didácticas propias de años anteriores, y contenidos matemáticos curriculares combinados con aquellos de otras áreas de conocimiento, con el objetivo de facilitar la apropiación de los mismos por parte del alumno y su posterior consolidación. Están organizados en seis capítulos que integran contenidos de numeración, operaciones, espacio, medidas y geometría. Comienzan con imágenes atractivas que introducen el tema mediante la recuperación de los conocimientos previos de los alumnos. Para el abordaje de los contenidos se proponen situaciones cotidianas y lúdicas. Las actividades se presentan alternadas: diversos tipos de problemas que implican pensar y observar, juegos para resolver las operaciones, uso de la calculadora en las cuentas repetitivas. La resolución y autocorrección de los problemas están propuestas para que puedan hacerse en forma individual, grupal y entre todos.

¿Cuál es la propuesta de “Dame la mano 2”?

“Dame la mano 2” es un manual actual, editado por primera vez en el año 2010, y forma parte de una serie que tiene como propósito acompañar el proceso alfabetizador del primer ciclo. En este sentido ofrece abundantes lecturas, de diversos géneros literarios de autores relevantes, y presenta actividades variadas y apropiadas para aproximar a los chicos a la lectura y escritura de diferentes tipos de textos. Trabaja todos los temas sugeridos en los diseños actuales de Ciencias Naturales y Ciencias Sociales, con enfoques e información muy actualizada. En lo que respecta al área de matemática, ofrece una clara secuencia didáctica que permite construir sólidamente las primeras y fundamentales nociones de número, cálculo, geometría y medida y espacio. Apunta al cálculo mental, y a la enseñanza de las diversas formas en las que se puede llevar a cabo el proceso de aprendizaje matemático, así como también a la autocorrección y supervisión de sus resultados a partir de la lógica propia del alumno, permitiendo la verificación de resultados a partir de la calculadora. Es un libro que hace gran énfasis tanto en la resolución de problemas como en el aprendizaje y uso práctico del sistema numérico para realizar diversas operaciones.

• Características generales a comparar

a) Estructura y organización de los contenidos

En “Sombreritos Integrados 2” (2004), encontramos contenidos de diversas áreas, tales como Lengua, Matemática, Sociales y Naturales. Estos se encuentran entremezclados en cada capitulo, presentándose en cada unidad temática cuatro o cinco actividades de los diversos temas respectivos a cada área. Se plantea un modelo didáctico a partir del cual los contenidos respectivos al área de Matemática, tales como sistema de numeración, geometría, espacio, medida y operaciones, se brindan en combinación con otros contenidos disciplinares de la enseñanza, es decir, se busca también la socialización entre la Matemática y otras áreas, lo cual se puede ver claramente en las actividades que se proponen, ya que estas implican poner en practica los conocimientos del uso cotidiano presente en los diferentes ámbitos de la vida. Esta forma de estructuración y organización de los contenidos a partir de un recorrido en las diversas áreas, se debe a que nos encontramos ante un manual de áreas integradas.

En cambio, en “Dame la mano 2” (2010), a pesar de ser también un manual de enseñanza integrada, éste se encuentra organizado por áreas, es decir, dividido por sus respectivas asignaturas, dando así un lugar particular y determinado tanto al área de Matemática, por un lado, como al área de Prácticas de Lenguaje en combinación con las Ciencias Sociales y Naturales, por el otro. En lo que respecta específicamente al área de Matemática, ésta se encuentra dividida en 4 bloques, y en cada uno de ellos se presentan diversas actividades a trabajar, combinando tanto el sistema de numeración, las operaciones, el espacio, la geometría y las medidas.

Por lo tanto, un aspecto importante a remarcar en este análisis comparativo en lo que respecta a la Didáctica de la Matemática, es que a pesar de ser dos manuales totalmente diferentes en su organización y distribución de asignaturas y sus respectivos temas, ambos presentan los mismos contenidos. Es decir, a pesar de que se diferencian en el año de su primera edición (2004 y 2010), podemos rescatar que en ambos se plantea la enseñanza básica de los mismos conocimientos en relación al segundo año de la educación primaria.

b) Actividades

Otra de las diferencias que pudimos observar al realizar un recorrido en ambos manuales, respecta a las propuestas didácticas y actividades que se plantean en cada uno de ellos. En “Sombreritos Integrados 2” (2004), encontramos actividades y ejercicios con fines mayormente sociales e inclusivos en relación a otras áreas. Esto se muestra claramente en actividades tales como el juego (loterías, laberintos, juego con dados y dardos, rompecabezas) o las experiencias de la vida cotidiana (supermercado, fabricas, boleto de colectivo, el plano de la escuela y del hogar, librería, álbum de figuritas, ejercicios con dinero, entre otros). Si bien se busca el logro y apropiación de los conocimientos matemáticos propuestos, no recurre a una enseñanza práctica directa, es decir, a la explicación directa de reglas y su consecutiva practica, sino que amplia el campo de enseñanza a partir de recursos que resulten de interés y sentido común para los niños, permitiendo así que éstos trabajen con situaciones de las cuales tienen un conocimiento previo.

En cambio, en “Dame la mano 2” (2010), pudimos observar que la mayoría de las actividades están dirigidas a la aplicación practica de los conocimientos brindados, es decir, a la ejecución directa de los contenidos y reglas enseñadas, y por ende, a la revisión de resultados concretos. Si bien este manual también presenta otras modalidades didácticas tales como el juego u otras situaciones cotidianas, éstas se presentan en una menor medida en comparación al manual nombrado anteriormente. En este manual actual, las actividades están mayormente dirigidas a la resolución de problemas y otros tipos de ejecución práctica en relación a la suma, resta y multiplicación (en su menor medida). Se hace gran énfasis tanto en la resolución de problemas como en el aprendizaje y uso práctico del sistema numérico para realizar diversas operaciones. En relación al manual anterior, también podemos destacar que la mayoría de las actividades y ejercicios propuestos aquí, implican la resolución de forma individual (exceptuando algunos juegos para realizar en parejas), y el razonamiento deductivo de los alumnos.

c) Uso de la calculadora

Una de las características más importantes a destacar en lo que respecta a la didáctica de Matemática, tiene que ver con la enseñanza del sistema simbólico de la calculadora y su utilización práctica.

En “Sombreritos Integrados 2” (2004), se presenta un capitulo de sistema de numeración dirigido a la investigación acerca del uso de la calculadora. En este se busca descubrir los números que en ella se encuentran, la utilización practica de cada tecla, el significado de cada uno de sus símbolos, y finalmente, cómo llevar a cabo diversas operaciones a partir de la combinación de dichas teclas. Si bien se busca que los alumnos internalicen conocimientos prácticos a partir de este material didáctico (calculadora), no se presentan actividades que impliquen llevar a cabo la verificación de problemas u otro tipo de operaciones; es decir, solo se acentúa la enseñanza de su utilización, apuntándose a la resolución manual de ejercicios prácticos

En cambio, en “Dame la mano 2” (2010) no se presenta un capitulo particular para la enseñanza de la utilización de la calculadora. Las actividades que implican su empleo, están dirigidas directamente a su uso práctico a partir de la verificación de problemas u otro tipo de operaciones. No se presenta una explicación de cómo utilizar su sistema simbólico, sino que directamente se plantea hacer uso de ella cuando sea necesario corroborar los resultados.

d) Cálculo

Otra característica de gran importancia, es aquella relacionada al cálculo.

En “Sombreritos Integrados 2”, podemos encontrar que el calculo esta dirigido a operaciones de ejecución práctica; mientras que en “Dame la mano 2”, se propone, mayormente, llevar a cabo la resolución de operaciones y problemas a partir del cálculo mental. Sin embargo, debemos destacar que en ambos manuales se plantean diferentes maneras de resolver las operaciones de suma.

• Análisis comparativo del sistema de numeración

Al realizar un recorrido por ambos manuales, pudimos encontrar las siguientes similitudes en sus actividades:

- Se observa el trabajo con los números del 0 a 1000.

- Se trabaja con la recta numérica.

- Completar cuadros numéricos con algunos números ya ubicados.

- Armar el cuadro numérico a partir de bandas numéricas, que pueden iniciarse en números diferentes a las decenas.

- Organizar juegos de loterías o bingos con cien números que impliquen la lectura de los mismos.

- Completar bandas numéricas, de uno en uno, de dos en dos, cinco en cinco, etc

- Completar cuadros numéricos con otros intervalos de la serie.

- Ordenar números de una, dos, tres y cuatro cifras.

- Uso de la calculadora.

- Resolución de problemas.

- Resolución de situaciones de la vida cotidiana y utilización de material didáctico.

- Resoluciones que nos permitirán trabajar con el sistema monetario vigente.

CONCLUSIÓN

El sentido de la Didáctica de la Matemática en la escuela primaria, es lograr que el alumno adquiera herramientas de manera desnaturalizadas que desafíen sus conocimientos previos y así poder afrontarlos a diferentes situaciones, de la vida cotidiana, que se puedan presentar. El docente es el que debe promover que el alumno piense, ponga en juego lo que sabe, interactué con otros, explique, discuta, argumente, pregunte, plantee nuevos problemas que produzca su propio conocimiento. A partir de este trabajo pudimos llegar a la conclusión de cómo han variando a lo largo de los años las estrategias didácticas de enseñanza, y por ende, la estructura y organización de contenidos que se busca brindar. El objetivo no debe ser el logro de un aprendizaje mecánico o por repetición, sino un aprendizaje significativo, que les permita a los niños aplicarlo a las diferentes situaciones con las que se enfrentan en su quehacer cotidiano.

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