Suma Y Resta De Matrices

SUMA Y RESTA DE MATRICES

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3  2 y otra de 3  3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

MULTIPLICACION DE DE MATRICES

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.

Es decir, si tenemos una matriz 2  3 y la multiplicamos por otra de orden 3  5, la matriz resultante será de orden 2  5.

(2  3)  (3  5) = (2  5)

Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.

3  5 por 2  3,

puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.

Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas deB; es decir, A es una matriz m  p y B una matriz p  n. Entonces el producto AB es la matriz m  n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.

Esto es,

Ejemplo:

1.

2.

•Producto por un escalar

El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k•A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de Apor k:

Ejemplo:

Entonces:

IDENTICAS DE UNA MATRIZ

Como el producto de matrices sólo tiene sentido si sus dimensiones son compatibles, existen infinitas matrices identidad dependiendo de las dimensiones. , la matriz identidad de tamaño , se define como la matriz diagonal que tiene valor 1 en cada una de las entradas de ladiagonal principal, y 0 en el resto. Así,

Empleando la notación que a veces se usa para describir concisamente las matrices diagonales, resulta:

Si el tamaño es inmaterial, o se puede deducir de forma trivial por el contexto, entonces se escribe simplemente como .

También se puede escribir usando la notación delta de Kronecker:

o, de forma aún más sencilla,

La matriz identidad de orden n puede ser también considerada como la matriz permutación que es elemento neutro del grupo de matrices de permutación de orden n!.

INVERSA DE UNA MATRIZ

Este método se basa en el conocimiento de las propiedades de las matrices , de tal forma que un sistema se puede calcular sabiendo cual es la matriz inversa de los coeficientes del sistema .

Recordemos que la matriz inversa se puede calcular de dos formas :

• Por determinantes y adjuntos

• Por Gauss ( este es el método que utilizaremos )

El método de Gauss para calcular matrices inversas es parecido al resolución de sistemas , ya que se basa en que a partir de la matriz de los coeficientes obtengamos la matriz identidad combinando filas entre sí .

Veamos el ejemplo :

Debemos de poner :

Todo lo que le hagamos a la matriz de la izquierda debemos de hacerlo a la derecha, y al final, a la izquierda debe aparecer la matriz identidad y a la derecha la matriz inversa .

Como podemos observar a la izquierda hemos conseguido la matriz identidad y a la derecha tenemos la matriz inversa .

Entonces el sistema se puede poner así :

Pasando la matriz de los coeficientes al otro miembro :

Multiplicando estas dos matrices :

Que es el resultado que ya sabíamos por Gauss .

Representación Geométrica

En este caso se nos da la magnitud del vector, el ángulo que forma con la horizontal, (su dirección) y la punta de la flecha indica el sentido del vector. En mecánica necesitamos trabajar en un sistema de referencia. Generalmente es conveniente proyectar este vector sobre los ejes coordenados. Recurriendo a la trigonometría, podemos definir una componente horizontal y vertical.

La proyección en los ejes coordenados x e y, introduce naturalmente una nueva notación:

Los vectores representados con una cuña en su parte superior representan vectores de magnitud unitaria y que tienen dirección y sentido de acuerdo al eje X (abscisa) e Y (ordenada) respectivamente.

Descripción Algebraica

Otra forma de describir un vector es mediante un par ordenado de números. En el caso de dos dimensiones, en el primer casillero se anota la magnitud de la proyección del vector en el eje X y en el segundo casillero, se incluye la proyección del vector en el eje Y.

Para todas las notaciones que figuran se puede hacer el paso inverso, esto es obtener la magnitud del vector teniendo las componentes de las abscisas y las ordenadas de este aplicando el teorema de Pitágoras.

método de sustitución

Método para resolver ecuaciones algebraicas sustituyendo una variable con una cantidad equivalente en términos de otra(s) variable(s) de manera que el número total de incógnitas se reduzca a 1. Por ejemplo, para resolver las siguientes ecuaciones simultáneas:

x + y = 3 (1)

y

x - y = 1 (2)

primero podemos obtener x en términos de y utilizando la ecuación (1):

x = 3 - y (3)

Después, sustituimos x con (3 - y) en la ecuación (2):

(3 - y) - y = 1 (4)

3 - 2y = 1

3 - 1 = 2y

2 = 2y

y = 1

Como se muestra, reducimos el número de variables en la ecuación (2) de 2 a 1 utilizando el método de sustitución. El resultado es que obtenemos una nueva ecuación con sólo una variable. Por lo tanto, podemos resolver para y. Después, sustituimos y = 1 de nuevo en la ecuación (1) para resolver para x:

x + 1 = 3

x = 2

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de sustitución

1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3 Resolvemos la ecuación obtenida:

4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5 Solución

Método gráfico de resolución de sistemas

Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusiónde un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:

• Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.

• Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.

• Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

• En este último paso hay tres posibilidades:

• Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.

• Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.

• Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

Veamos, por última vez, el ejemplo visto en los métodos analíticos para resolverlo gráficamente y comprobar que tiene, se use el método que se use, la misma solución. recordemos de nuevo el enunciado:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600

2x - y = 0

Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:

y = -x + 600

y = 2x

Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:

y = -x + 600 y = 2x

x y x y

200 400 100 200

600 0 200 400

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:

< TD>

Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los tres métodos analíticos.

Cuando se habla de sistemas de ecuaciones en los cuales se tiene 2 ecuaciones y el mismo numero de variables se tiene un sistema de ecuaciones 2×2. La solución de un sistema de ecuaciones 2×2 puede determinarse a través de diferentes métodos entre los cuales se cuenta el método de eliminación, al cual nos enfocaremos en este punto.

Para resolver por eliminación un sistema de ecuaciones 2×2 el procedimiento que se sigue es el ilustrado con el ejemplo presentado a continuación:

Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones

1. 2x + 4y = 20

2. 3x + y = 10

1. Se multiplican los coeficientes de las variables de una o ambas ecuaciones de ser necesario, buscando obtener el valor negativo de una de las variables de una ecuación en la otra.

2x + 4y = 20

.

3x + y = 10 (−4)

Multiplicamos la ecuación 2 por (−4) para obtener – 4y. El resultado sería:

2x + 4y = 20

.

-12x - 4y = −40 Ecuación resultante

2. Restamos la ecuación resultante de multiplicar la 2 por (−4) de la ecuación 1 para dejar una ecuación en términos de una sola variable. Obteniendo:

2x + 4y = 20

-12x - 4y = −40

-10x = −20

3. Despejamos la variable restante para obtener su valor.

En este caso la variable despejada es x, quedando:

x= −20/−10

x= 2

4. El resultado obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales, para obtener el valor de la variable restante. En este caso tomamos la ecuación 1, quedando como sigue:

2x + 4y = 20, sí x= 2 entonces y será

2(2) + 4y = 20

4 + 4y = 20

4y = 20 – 4

4y = 16

y=16/4

y= 4

Siendo los valores que satisfacen mi sistema de ecuaciones de x= 2, y=4.

SUMA Y RESTA DE MATRICES

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3  2 y otra de 3  3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

MULTIPLICACION DE DE MATRICES

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.

Es decir, si tenemos una matriz 2  3 y la multiplicamos por otra de orden 3  5, la matriz resultante será de orden 2  5.

(2  3)  (3  5) = (2  5)

Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.

3  5 por 2  3,

puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.

Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas deB; es decir, A es una matriz m  p y B una matriz p  n. Entonces el producto AB es la matriz m  n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.

Esto es,

Ejemplo:

1.

2.

•Producto por un escalar

El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k•A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de Apor k:

Ejemplo:

Entonces:

IDENTICAS DE UNA MATRIZ

Como el producto de matrices sólo tiene sentido si sus dimensiones son compatibles, existen infinitas matrices identidad dependiendo de las dimensiones. , la matriz identidad de tamaño , se define como la matriz diagonal que tiene valor 1 en cada una de las entradas de ladiagonal principal, y 0 en el resto. Así,

Empleando la notación que a veces se usa para describir concisamente las matrices diagonales, resulta:

Si el tamaño es inmaterial, o se puede deducir de forma trivial por el contexto, entonces se escribe simplemente como .

También se puede escribir usando la notación delta de Kronecker:

o, de forma aún más sencilla,

La matriz identidad de orden n puede ser también considerada como la matriz permutación que es elemento neutro del grupo de matrices de permutación de orden n!.

INVERSA DE UNA MATRIZ

Este método se basa en el conocimiento de las propiedades de las matrices , de tal forma que un sistema se puede calcular sabiendo cual es la matriz inversa de los coeficientes del sistema .

Recordemos que la matriz inversa se puede calcular de dos formas :

• Por determinantes y adjuntos

• Por Gauss ( este es el método que utilizaremos )

El método de Gauss para calcular matrices inversas es parecido al resolución de sistemas , ya que se basa en que a partir de la matriz de los coeficientes obtengamos la matriz identidad combinando filas entre sí .

Veamos el ejemplo :

Debemos de poner :

Todo lo que le hagamos a la matriz de la izquierda debemos de hacerlo a la derecha, y al final, a la izquierda debe aparecer la matriz identidad y a la derecha la matriz inversa .

Como podemos observar a la izquierda hemos conseguido la matriz identidad y a la derecha tenemos la matriz inversa .

Entonces el sistema se puede poner así :

Pasando la matriz de los coeficientes al otro miembro :

Multiplicando estas dos matrices :

Que es el resultado que ya sabíamos por Gauss .

Representación Geométrica

En este caso se nos da la magnitud del vector, el ángulo que forma con la horizontal, (su dirección) y la punta de la flecha indica el sentido del vector. En mecánica necesitamos trabajar en un sistema de referencia. Generalmente es conveniente proyectar este vector sobre los ejes coordenados. Recurriendo a la trigonometría, podemos definir una componente horizontal y vertical.

La proyección en los ejes coordenados x e y, introduce naturalmente una nueva notación:

Los vectores representados con una cuña en su parte superior representan vectores de magnitud unitaria y que tienen dirección y sentido de acuerdo al eje X (abscisa) e Y (ordenada) respectivamente.

Descripción Algebraica

Otra forma de describir un vector es mediante un par ordenado de números. En el caso de dos dimensiones, en el primer casillero se anota la magnitud de la proyección del vector en el eje X y en el segundo casillero, se incluye la proyección del vector en el eje Y.

Para todas las notaciones que figuran se puede hacer el paso inverso, esto es obtener la magnitud del vector teniendo las componentes de las abscisas y las ordenadas de este aplicando el teorema de Pitágoras.

método de sustitución

Método para resolver ecuaciones algebraicas sustituyendo una variable con una cantidad equivalente en términos de otra(s) variable(s) de manera que el número total de incógnitas se reduzca a 1. Por ejemplo, para resolver las siguientes ecuaciones simultáneas:

x + y = 3 (1)

y

x - y = 1 (2)

primero podemos obtener x en términos de y utilizando la ecuación (1):

x = 3 - y (3)

Después, sustituimos x con (3 - y) en la ecuación (2):

(3 - y) - y = 1 (4)

3 - 2y = 1

3 - 1 = 2y

2 = 2y

y = 1

Como se muestra, reducimos el número de variables en la ecuación (2) de 2 a 1 utilizando el método de sustitución. El resultado es que obtenemos una nueva ecuación con sólo una variable. Por lo tanto, podemos resolver para y. Después, sustituimos y = 1 de nuevo en la ecuación (1) para resolver para x:

x + 1 = 3

x = 2

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de sustitución

1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3 Resolvemos la ecuación obtenida:

4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5 Solución

Método gráfico de resolución de sistemas

Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusiónde un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:

• Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.

• Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.

• Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

• En este último paso hay tres posibilidades:

• Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.

• Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.

• Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

Veamos, por última vez, el ejemplo visto en los métodos analíticos para resolverlo gráficamente y comprobar que tiene, se use el método que se use, la misma solución. recordemos de nuevo el enunciado:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600

2x - y = 0

Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:

y = -x + 600

y = 2x

Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:

y = -x + 600 y = 2x

x y x y

200 400 100 200

600 0 200 400

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:

< TD>

Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los tres métodos analíticos.

Cuando se habla de sistemas de ecuaciones en los cuales se tiene 2 ecuaciones y el mismo numero de variables se tiene un sistema de ecuaciones 2×2. La solución de un sistema de ecuaciones 2×2 puede determinarse a través de diferentes métodos entre los cuales se cuenta el método de eliminación, al cual nos enfocaremos en este punto.

Para resolver por eliminación un sistema de ecuaciones 2×2 el procedimiento que se sigue es el ilustrado con el ejemplo presentado a continuación:

Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones

1. 2x + 4y = 20

2. 3x + y = 10

1. Se multiplican los coeficientes de las variables de una o ambas ecuaciones de ser necesario, buscando obtener el valor negativo de una de las variables de una ecuación en la otra.

2x + 4y = 20

.

3x + y = 10 (−4)

Multiplicamos la ecuación 2 por (−4) para obtener – 4y. El resultado sería:

2x + 4y = 20

.

-12x - 4y = −40 Ecuación resultante

2. Restamos la ecuación resultante de multiplicar la 2 por (−4) de la ecuación 1 para dejar una ecuación en términos de una sola variable. Obteniendo:

2x + 4y = 20

-12x - 4y = −40

-10x = −20

3. Despejamos la variable restante para obtener su valor.

En este caso la variable despejada es x, quedando:

x= −20/−10

x= 2

4. El resultado obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales, para obtener el valor de la variable restante. En este caso tomamos la ecuación 1, quedando como sigue:

2x + 4y = 20, sí x= 2 entonces y será

2(2) + 4y = 20

4 + 4y = 20

4y = 20 – 4

4y = 16

y=16/4

y= 4

Siendo los valores que satisfacen mi sistema de ecuaciones de x= 2, y=4.

...