Taller #2 – Ecuaciones lineales e Interpolación

Programación y métodos numéricos para ingeniería

Taller #2 – Ecuaciones lineales e Interpolación  

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

Nombres

28 de marzo de 2020

Tabla de Contenidos

 I.     Introducción e información general        1

 II.    Desarrollo de los ejercicios asignados         2

 III.   Conclusiones         5

 IV.   Referencias         6

1. Introducción

Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas. Aunque existen muchos tipos de métodos numéricos, éstos comparten una característica común: invariablemente requieren de un buen número de tediosos cálculos aritméticos. No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos en la solución de problemas en ingeniería haya aumentado de forma considerable en los últimos años.

[1]

En este documento se desarrollarán ejercicios en los que se aplicarán                                                   conceptos para la solución de Ecuaciones lineales y la interpolación para un grupo de datos dado, entre ellos:

• Eliminación Gaussiana simple.
•  Eliminación de Gauss – Jordán.  
• Gauss – Seidel.  
• Jacobi.
• S.O.R.
• Interpolación de Lagrange.
• Interpolación de Diferencias Divididas de Newton.
• Polinomio de interpolación de Diferencias Finitas de Newton.

1. DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS ASIGNADOS

1. Tema: Solución de sistemas de ecuaciones lineales  

Problema 5:

[pic 1]

Ejercicio 1: Determine si el sistema de ecuaciones lineales tiene o no solución. ¿Si la tiene es única? Realice una breve explicación basándose en la teoría revisada.

Antes de comenzar con el análisis del problema vamos a introducir dos conceptos previos.

• Rango: El número de vectores linealmente independientes de un conjunto dado recibe el nombre de rango o característica del conjunto.
•  Rango de una matriz: Una matriz de tamaño  se puede ver como un conjunto de  vectores columna cada uno con m componentes (o bien  vectores fila de  componentes cada uno). En estas condiciones puede hablarse del rango de una matriz. Donde el rango de una matriz esta dado por el número máximo de vectores columna o vectores fila, linealmente independientes. [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

[2]

Un sistema de  ecuaciones lineales en  incógnitas, tiene la forma general:[pic 6][pic 7]

[pic 8]

Con la notación matricial se puede escribir la ecuación anterior como:

[pic 9]

Lo cual expresa el producto matricial  , donde  corresponde a la matriz de coeficientes,  el valor de la incógnita y  el vector de términos independientes. [pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

A continuación, se define la matriz aumentada  formada con los elementos de la matriz coeficiente  y, los del vector .[pic 14][pic 15][pic 16]

[pic 17]

Si el rango de la matriz coeficiente y de la matriz aumentada  son iguales, se dice que el sistema es consistente. Si esto no ocurre, el sistema es inconsistente (por lo tanto, un sistema homogéneo siempre es consistente). Un sistema inconsistente no tiene solución, mientras que uno consistente tiene una solución única o un número infinito de soluciones, según como sea el rango de  en comparación con el número de incógnitas . Si el rango de A es igual al número de incógnitas, la solución es única; si el rango de  es menor que dicho número, hay un número infinito de soluciones.[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

[3]

Ahora nos dirigiremos directamente al problema de sistema de ecuaciones lineales planteado anteriormente

• Notación matricial

[pic 23]

• Matriz aumentada

[pic 24]

Dado que en cada una de las ecuaciones hacen falta variables es fácil ver la independencia lineal entre los vectores dado que ninguna combinación lineal entre ellos podría generar la variable con coeficiente cero, entonces podemos pensar que el rango de la matriz y la matriz de coeficientes es el mismo, es decir 4. Además, que el rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas. Por lo tanto, el sistema tiene una única solución. Lo cual se verá rigurosamente cuando desarrollemos el sistema con los métodos propuestos.  

Ejercicio 2: Resolver el SEL por cada uno de los esquemas de:

Eliminación Gaussiana simple

Eliminación de Gauss - Jordán.  

Gauss – Seidel

Jacobi

S.O.R.

1. Eliminación gaussiana simple: Este método consiste en la triangularización de las ecuaciones haciendo operaciones básicas entre fijas. Y luego cuando en la última ecuación se pueda despejar el valor de la variable  donde  es el numero de variables del sistema, se hará una sustitución regresiva para encontrar el valor de las variables faltantes. Vale resaltar que la triangularización se puede efectuar sobre la matriz aumentada con el fin de no usar las variables [pic 25][pic 26][pic 27]

[4]

Para nuestro ejercicio el desarrollo es el siguiente:

[pic 28]

[pic 29]

 [pic 30][pic 31]

[pic 32]

Después de lograr una triangulación correcta procedemos a efectuar una sustitución regresiva. Es decir:

[pic 33]

[pic 34]

Despejando tenemos que su valor es  que reemplazando en la ecuación  tenemos  de donde obtenemos  , repitiendo el proceso tenemos que  , . Para finalmente ,  [pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

...