Trapezoide

Ejemplo 1: Usando la regla del trapezoide con n=2 y n=4 aproximamos:

cuyo valor exacto es correcto al número de cifras mostradas. Para n=2 tenemos que h=(2-1)/2=0.5, x0=1, x1=1.5, x2=2. Ahora

Con n=4 tenemos h=(2-1)/4=0.25, x0=1, x1=1.25, x2=1.5, x3=1.75, x2=2, de modo que

Estos cálculos los podemos realizar también utilizando la función trapz de MATLAB. En el siguiente programa no solo calculamos los dos resultados de arriba sino que generamos una tabla de errores (exactos) para varios valores de n aprovechando que en este ejemplo tenemos el valor exacto del integral:

iexacto=log(2);

n=2;

error1=0;

for i=1:10

x=linspace(1,2,n+1);

y=1./x;

iaprox=trapz(x,y);

error=iexacto-iaprox;

ratio=error1/error;

disp(['n=' num2str(n) ', iaprox=' num2str(iaprox,6) ',error=' num2str(error,6) ',ratio=' num2str(ratio,6)])

n=2*n;

error1=error;

end

Los resultados fueron como sigue:

n Tn(f) en=I(f)- Tn(f) en/ e2n

2 0.708333 -0.0151862 -----

4 0.697024 -0.00387663 3.91736

8 0.694122 -0.00097467 3.97738

16 0.693391 -0.000244022 3.99419

32 0.693208 -0.0000610277 3.99854

64 0.693162 -0.0000152583 3.99963

128 0.693151 -3.81467e-006 3.99991

256 0.693148 -9.53672e-007 3.99998

512 0.693147 -2.38418e-007 3.99999

1024 0.693147 -5.96046e-008 4.00000

Estos resultados confirman claramente la convergencia del método del trapezoide en este ejemplo particular. Podemos ver que cada ves que se duplica la n, lo cual equivale a dividir la h entre dos, el error disminuye por un factor de cuatro aproximadamente (última columna de la tabla) esto es característico de convergencia O(h2) lo cual confirmaremos teóricamente más adelante.

Metodo del Trapecio

Ejemplo:

El cuerpo de revolución que se muestra, se obtiene al girar la curva dada por , , entorno al eje x. Calcule el volumen utilizando la regla extendida del trapecio con . El valor exacto es I=11.7286, u2.

Evalué el error para cada N.

Donde:

Metodo de Simpson

Utilizar la regla de Simpson para aproximar la integral: e dx x

∫

1

0

2

.

Tenga en cuenta que el valor real es 1.4626…

Fig. 4

Solución: Usando la fórmula directamente con los siguientes datos:

2

( )

1

0

x

f x e

b

a

=

...