El vector de desplazamiento y otros vectores

1. Vectores

El concepto matemático de vector es muy útil para la descripción de posición, velocidad y aceleración en el movimiento bidimensional o en el tridimensional. Se vera que la descripción vectorial del movimiento da un significado preciso a la noción intuitiva de que la velocidad y la aceleración tiene una dirección así como tiene una magnitud: la velocidad y la aceleración de una partícula pueden apuntar al norte o al este, hacia arriba o hacia abajo o en cualquier dirección intermedia.

1.1. El vector de desplazamiento y otros vectores.

Se inicia con los conceptos desplazamiento y vector de desplazamiento. El desplazamiento de una partícula es simplemente un cambio de su posición. Si una partícula se mueve de un punto P1 a un punto P2, puede representarse gráficamente el cambio de posición mediante una flecha o un segmento dirigido de línea recta que vaya de P1 a P2. El segmento dirigido de línea recta es el vector de desplazamiento de la partícula. Por ejemplo, si un buque se mueve de Liberty Island a Battery, en el puerto de Nueva York, entonces el vector de desplazamiento es como se muestra en la figura 3.1. Observe que el vector de desplazamiento muestra solo donde esta la posición final (P2) en relación con la posición inicial (P1); no dice que trayectoria siguió el barco entre las dos posiciones. Por tanto, cualquiera de las trayectorias que se muestran como líneas rojas en la figura 3.2 da por resultado el mismo vector de desplazamiento.

Un vector de desplazamiento tiene una magnitud y una dirección que se representan gráficamente por la longitud de una flecha y el sentido de su punta. Aunque cada vector puede representarse trazando una flecha, no todo dibujo de una flecha que usted encuentre en la vida diaria es un vector.

En vez de describir el vector gráficamente, trazando una flecha, puede describirse de manera numérica, dando el valor numérico de su magnitud (por ejemplo, en metros) y el valor numérico del ángulo (por ejemplo, en grados) que forma con respecto a alguna dirección de referencia.

El vector de desplazamiento sirve como prototipo para todos los demás vectores. A fin de decidir di alguna cantidad dotada tanto de magnitud como de dirección es un vector, se comparan sus propiedades matemáticas con las del vector de desplazamiento. Cualquier cantidad que tenga magnitud y dirección y que se comparte matemáticamente como vector de desplazamiento es un vector. Por ejemplo, la velocidad, aceleración y fuerza son vectores. Pueden representarse gráficamente por segmentos dirigidos de línea recta de una longitud igual a la magnitud de la velocidad, la aceleración o la fuerza (en algunas unidades adecuadas) y con una dirección correspondiente.

Por el contrario, cualquier cantidad que tenga una magnitud pero no una dirección se llama escalar. Por ejemplo, longitud, tiempo, masa, área, volumen, densidad, temperatura y energía son escalares; puedes especificarse completamente mediante la magnitud numérica y las unidades. Observe que la longitud de un vector de desplazamiento es una cantidad que tiene magnitud pero no dirección; es decir, la magnitud es un escalar.

1.2. Suma y resta de vectores

Como, por definición, todos los vectores tienen las propiedades matemáticas de los vectores de desplazamiento, pueden investigarse todas las operaciones matemáticas con vectores observando los vectores de desplazamiento. La mas importante de estas operaciones matemáticas es la suma vectorial.

Dos desplazamientos que se llevan a cabo en forma sucesiva dan por resultado un desplazamiento neto, considerando como la suma vectorial de los desplazamientos individuales. Por ejemplo, en la figura 3.5 se demuestra un vector de desplazamiento A (de P1 a P2) y un vector de desplazamiento B (de P2 a P3). El vector de desplazamiento neto es el segmento de línea de la posición inicial P1 a la posición P3. Este vector de desplazamiento neto se denota como C en la figura 3.5y puede considerarse como la suma de los desplazamientos individuales:

C = A + B

La suma de dos vectores se llama usualmente la resultante de estos vectores. Así, C se llama la resultante de A y B.

El procedimiento para la suma de todos los otros vectores, tales como vectores de velocidad, aceleración y fuerza, es igual a la de los vectores de desplazamiento. Todos esos vectores pueden representarse por flechas. Si A y B son dos vectores arbitrarios (véase la figura 3-7a), entonces la resultante puede obtenerse colocando el origen de B en la punta de A y conservando sin cambiar la magnitud y dirección de B; el segmento dirigido de línea recta que conecta el origen de A con la punta de B es la resultante (Véase la figura 3-7b). Como alternativa, la resultante puede obtenerse colocando el origen de B en el origen de A y trazando un paralelogramo en el que A y B son dos de los lados; la diagonal del paralelogramo es entonces la resultante (véase la figura 3.7c).

Observe que el orden en que suman los dos vectores no importa para el resultado final. Ya sea que coloque el origen de B en la punta de A o el origen de A en la punta de B, la resultante es la misma (véase la figura 3.8). Por tanto

A + B = B + A

Esta identidad se conoce como la ley conmutativa de suma vectorial; indica que, igual que en la sima ordinaria de números el orden de los términos no importa.

La magnitud de la resultante de dos vectores es generalmente menor que la suma de las magnitudes de los vectores. Así, si

C = A + B

Entonces

C ≤ A + B

Esta desigualdad simplemente expresa el hecho de que en un triangulo (véase la figura 3.7b) la longitud de cualquier lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos. Solo en el caso especial en el que A y B son paralelas (véase la figura 3.9) la magnitud de C será igual a la suma de las magnitudes de A y B; nunca puede exceder esta suma.

El negativo de un vector dado A es un vector de la misma magnitud, pero con dirección opuesta; este nuevo vector se indica como –A (véase la figura 3.10). Obviamente, la suma de un vector y su negativo da un vector de magnitud cero:

A +

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