Series Numericas
Enviado por yarcon120 • 18 de Abril de 2015 • 5.884 Palabras (24 Páginas) • 281 Visitas
EJERCICIOS RESUELTOS:
Series numéricas
Matemáticas
1
1
Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Ejercicios: Series numéricas
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
2
1 Calcular la suma de las siguientes series:
(a)
2 3 4
1 1 1 1 1
4 ... ...
2 2 2 2 2n
+ − + + + + + (b)
3 2
1
3 2
n 3 2
n
n n n
=
+
+ +
Solución:
(a)
2
1
1 2 4 4
2 1
1
2
+ − + = +
−
(b) Descomponiendo en fracciones simples
3 2
3 2 1 1 2
3 2 1 2
n
n n n n n n
+
= + −
+ + + +
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
1 ... ... ...
2 3 2 3 1 3 4 1 2
1 1 1 2 2 1 2
1 2
2 2 1 1 2 1 2
n S
n n n n n n
n n n n n
= + + + + + + + + + − + + + + + =
+
+ +
= + + + − + = − −
+
+ + + +
1 2
lim 2 2
n 1 2
S
n n
= − − =
+ +
2
Dada la serie
n 1
n
=
. Se pide:
• Determina su carácter
• Encuentra una sucesión sencilla del mismo orden que la sucesión de sus sumas parciales.
Justificar los pasos seguidos.
• Demuestra que la sucesión obtenida en el apartado anterior es del mismo orden que su suma
parcial n-ésima.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz S
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Series numéricas
3
Indicación: Utilizar que si la función es creciente y positiva en 1,) se verifica
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
n n n
k
f x dx f k f x dx f n
=
< < +
Forma 1:
En general para una función f decreciente y positiva en (1,) la sucesión ( )
1
n
k
f k
=
es
del mismo orden que ( )
1
n
f x dx .
Si la función f es creciente se verifica
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
n n n
k
f x dx f k f x dx f n
=
< < +
En este caso f (x ) = x es creciente por lo que:
( 3/2 ) ( ) 3/2 1/2
1 1 1
2 2
1
3 3
n n n
k
n xdx S n k xdx n n n
=
− = < = < + = +
Como el infinito n3/2 es de orden superior a n1/2 se tiene que:
( ) 2 3/2
3
S n n
En efecto,
...