COMBINACIONES
Enviado por yolisito • 4 de Mayo de 2012 • Trabajos • 4.312 Palabras (18 Páginas) • 609 Visitas
COMBINACIONES página 29
TEMA 2
COMBINACIONES
DEFINICIÓN: Dados n elementos, el número de conjuntos que se pueden formar con ellos, tomados
de r en r , se llaman combinaciones.
Por ejemplo, sean cuatro elementos {a,b,c,d} . Los conjuntos, tomados de tres en tres, que se pueden
formar con esos cuatro elementos son:
{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} y {b,c,d}
es decir, en total hay 4 conjuntos diferentes formados con tres elementos. Se dice entonces que existen 4
combinaciones posibles.
Es importante notar la diferencia que existe entre una permutación y una combinación. En la permutación
lo que importa es el lugar que ocupa cada elemento, mientras que en la combinación no, sino
solamente "los integrantes" del conjunto. Hay que recordar que en un conjunto no importa el orden de los
elementos. Por ejemplo, los siguientes conjuntos son iguales por tener los mismos elementos, aunque se
hayan escrito en diferente orden:
{b,c,d} = {c,b,d}
En el estudio matemático de las combinaciones, lo que interesa saber es cuántas son, no cuáles son. A
pesar de eso, en el ejemplo anterior, se enlistaron cuáles son para clarificar la idea de lo que significa
combinaciones.
FÓRMULA
La fórmula general para calcular las combinaciones que se pueden obtener con n elementos, tomados
de r en r , es
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( )
!
! ! n r
n
C
r n r
=
−
Ejemplo 1: ¿Cuántos equipos de voleibol se pueden formar a partir de 9 jugadores disponibles?
Solución: Se requieren 6 jugadores para formar un equipo de voleibol, por lo que, en este caso se tiene que
n = 9
r = 6
de manera que
9 6 ( )
9! 84
6! 9 6 !
C = =
−
Ejemplo 2: ¿Cuántas comités de 1 presidente y 3 vocales se pueden formar a partir de un grupo de 8 personas, las
cuales pueden ocupar todas cualquier puesto?
Solución: Se requiere una sola persona, de entre las 8 disponibles, para ocupar el cargo de presidente, y 3 de entre
las siete que restan para ocupar el puesto de vocal. Se trata de un problema de composición, ya que la
combinación total (el comité) se compone a su vez de varias subcombinaciones, por lo que, en este caso
se tiene que
8
presidente
1
p
p
n
r
= ⎫⎪⎬
= ⎪⎭
7
vocales
3
v
v
n
r
= ⎫⎬
= ⎭
de manera que
8 1 7 3 ( ) ( )
8! 7! 280
1! 8 1 ! 3! 7 3 !
C × C = × =
− × −
Hay 280 maneras de formas el comité.
En problemas de composición el resultado final no depende de que se inicie el cálculo con la primera
subcombinación o con otra. En el problema anterior, si en vez de iniciar con las combinaciones posibles
para presidente se comienza con los vocales, se obtiene el mismo resultado. En efecto,
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n = 8
8
vocales
3
v
v
n
r
= ⎫⎬
= ⎭
n = 5
5
presidente
1
p
p
n
r
= ⎫⎪⎬
= ⎪⎭
de manera que
8 3 5 1 ( ) ( )
8! 5! 280
3! 8 3 ! 1! 5 1 !
C × C = × =
− −
Ejemplo 3: Una persona desea invitar a 5 de sus amigos entre un grupo de 8 amistades. ¿De cuántas maneras puede
hacerlo:
a) en total;
b) si las personas A y B no deben ir juntas;
c) si las personas A y B no pueden ir por separado;
d) si debe estar forzosamente la persona C ?
Solución: a) En este caso, al no estar condicionado, se tiene que
n = 8
r = 5
de manera que 8 5 ( )
8! 56
5! 8 5 !
C = =
−
b) Hay tres opciones: Una, que A no vaya mientras B sí, con lo cual es suficiente para que ambos no
estén juntos; dos, que B no vaya mientras A sí; y tres, que ni A ni B vayan. Conviene entonces
analizar caso por caso.
I.- Cuando A no asiste y B sí: Si B sí asiste, quedan ya solamente 4 personas por invitar para
completar las cinco requeridas, las cuales deben escogerse entre las seis que restan quitando a
A (para garantizar que no asista) y a B (que ya está entre los asistentes).
En este caso n = 6
r = 4
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de manera que 6 4 ( )
6! 15
4! 6 - 4 !
C = =
II.- Cuando A sí asiste y B no: Es exactamente lo mismo que el caso anterior, por lo tanto hay
15 maneras más.
III.- Cuando ni A ni B asisten: Las cinco personas deben escogerse entre las seis restantes,
quitando a A y a B (para garantizar que no asistan):
En este caso n = 6
r = 5
de manera que 6 5 ( )
6! 6
5! 6 - 5 !
C = =
En total resultan 15 + 15 + 6 = 36 formas.
c) Hay dos opciones: Una, que A y B sí asistan; la otra, que ni A ni B vayan. Se analiza entonces caso
por caso.
I.- Cuando A y B sí asisten: Si A y B sí asisten quedan ya solamente 3 personas por invitar para
completar las cinco requeridas, las cuales deben escogerse entre las seis que restan quitando a
A y a B que ya están entre los asistentes:
En este caso n = 6
r = 3
de manera que 6 3 ( )
6! 20
3! 6 - 3 !
C = =
II.- Cuando ni A ni B asisten: Las cinco personas deben escogerse entre las seis restantes,
quitando a A y a B (para garantizar que no asistan):
En este caso n = 6
r = 5
de manera que 6 5 ( )
6! 6
5! 6 - 5 !
C = =
En total resultan 20 + 6 = 26 formas.
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d) Si C asiste, quedan ya solamente 4 personas por invitar para completar las cinco requeridas, las
cuales deben escogerse entre las siete que restan.
En este caso n = 7
r = 4
de manera que 7 4 ( )
7! 35
4! 7 - 4 !
C = =
Ejemplo 4: Un grupo escolar consta de 16 alumnos. Es necesario formar simultáneamente 3 equipos con ellos, uno
de 5 alumnos para ir a la Cruz Roja, otro de 3 alumnos para visitar el Hospital y el tercero de 2 alumnos
para ir al Banco. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir?
Solución: El primer equipo de 5 alumnos
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