Continuidad De Una Funcion

Continuidad de una función.

Función continua en un número.

Una función f es continua en un número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguiente:

i. f (a) existe;

ii. existe;

iii.

Si por lo menos una de estas tres condiciones no se cumple en a, entonces se dice que la función f es discontinua en a.

Ejemplos 20.

1) La función definida por es discontinua en 2, pues dicha función no está definida en el 2. Veamos como es su comportamiento gráficamente, mostrado en la figura 9.

La gráfica muestra un salto en el punto (2; 4), esto se debe a la discontinuidad de la función en x= 2, por lo tanto, f(2) no existe. Observando la gráfica se sospecha que existe y es igual a 4.

Veamos si esto es cierto:

Cuando una función f presenta las características anteriores, es decir, no está definida en un número a pero existe, se dice que f presenta unadiscontinuidad removible o eliminable, porque si f es redefinida en a de manera que la nueva función es continua en a. Si una discontinuidad no es removible se dice que es una discontinuidad esencial.

La discontinuidad de la función es removible, porque si se redefine en 2, se obtiene la siguiente función:

La función F es continua en 2, puesto que,

y

2) Sea g la función definida por La gráfica de la función es mostrada en la figura 10.

La gráfica de g se rompe en el punto donde pues la función no está definida en dicho punto. Además, y luego, no existe. Por lo tanto,

i) no está definida.

ii) no existe.

Entonces, la función g es discontinua en y la discontinuidad es esencial porque no existe. La discontinuidad de éste ejemplo recibe el nombre de discontinuidad infinita.

3) Sea h la función definida por

La gráfica de h es mostrada en la siguiente figura:

Veamos que sucede con las condiciones de continuidad de la función h en x = 2.

i) g(2) = 3

ii) y , por lo tanto, no existe.

Como la condición ii) no se cumple, h es discontinua en 2. La discontinuidad es infinita, y desde luego esencial.

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