AlGebra Lineal II

REGRESION LINEAL MULTIPLE

Se utiliza para evaluar el comportamiento entre 3 o más variables. Al grado de relación q existe entre 3 o más variables, se le conoce como correlación múltiple.

2.1 modelo de regresión múltiple

La ecuación de regresión se utiliza para estimar una variable dependiente a partir de las variables independientes; en el caso de las tres variables, la ecuación de regresión es la siguiente, tomando en cuenta que X1 es la variable dependiente y por lo tanto, X2 y X3 son las independientes:

X1=b1.23+b12.3x2+b13.2x3

2.2 estimación de la ecuación de regresión múltiple

Para estimar los valores necesarios para la ecuación de regresión múltiple, se utiliza las ecuaciones normales para los planos de regresión de mínimos cuadrados. Las ecuaciones normales son las siguientes:

B1.23N+b1.23∑x2+b13.2∑x3=∑x1

B1.23∑x2+b1.23∑(x2)+b1.3.2∑x2x3=∑x1x2

B1.23∑x3+b12.3∑x2x3+b13.2∑(x3)=∑x1x2

Para determinar los valores de b1.23, b12.3 yb13.3 se aplican artificios algebraicos (sistemas de ecuación con 3 incógnitas) y, una vez determinadas, se pueden conocer la ecuación de regresión múltiple.

2.3matriz de varianza covarianza.

En estadística y teoría de la probabilidad, la matriz de covarianza es una matriz que contiene la covarianza entre los elementos de un vector. Es la generalización natural a dimensiones superiores del concepto de varianza de una variable aleatoria escalar.

Si las entradas del vector-columna

Son variables aleatorias, cada una con varianza finita, entonces la matriz de covarianza Σ es la matriz cuya entrada (i, j) es la covarianza

Es el valor esperado de la entrada i-ésima del vector X. En otras palabras, tenemos

Como una generalización de la varianza

La anterior definición es equivalente a la igualdad matricial

Por tanto, se entiende que esto generaliza a mayores dimensiones el concepto de varianza de una variable aleatoria escalar X, definida como

Propiedades

Donde y son vectores aleatorios de dimensión , es un vector aleatorio , es , y son matrices de .

La matriz de covarianza (aunque muy simple) es una herramienta muy útil en varios campos. A partir de ella se puede derivar una transformación lineal que puede de-correlacionarlos datos o, desde otro punto de vista, encontrar una base óptima para representar los datos de forma óptima (véase cociente de Rayleigh para la prueba formal y otras propiedades de las matrices de covarianza). Esto se llama análisis del componente principal (PCA por sus siglas en inglés) en estadística , y transformada de Karhunen-Loève en procesamiento de la imagen.

2.4 pruebas de hipótesis para los coeficientes de regresión

La prueba de hipótesis se encuentra definidas mediantes las siguientes formulas:

Desviación estándar:

σ1=√((∈(x1))/N)-((∈X1)/N)2 σ=√((∈(x2)2)/N)-((∈X2)/N)2

σ2=√((∈(x3)2)/N)-((∈X3)/N)2

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