Reglas de derivación de funciones compuestas

Tema 8. Reglas de derivación de funciones compuestas

Explicación

Al método para derivar una función compuesta se le conoce como regla de la cadena. Es importante que sepas distinguir entre una función básica y una compuesta, pues la forma de derivarlas es diferente. Recuerda que llamamos básica a una función si su argumento es solamente x, y diremos que la función es compuesta si en el argumento aparece otra función, es decir, algo más que x.

Cómo distinguir una función básica y una compuesta

Función básica Funciones compuestas

1.

1.

1.

1.

1.

Nota: Observa que, a diferencia de las funciones básicas, en las compuestas el argumento es otra función, es decir, hay dos funciones implícitas y cuando derivamos debemos de derivar las dos funciones.

El siguiente cuadro contiene las fórmulas para derivar funciones compuestas:

Sea f(x) una función derivable de x:

1. Si , entonces , donde n es un número real.

2. Si entonces .

3. Si entonces .

4. Si entonces , donde a es una constante positiva diferente de 1.

5. Si entonces .

6. Si entonces .

Nota: Observa que las fórmulas son muy similares a las de las funciones básicas; la diferencia es que ahora se multiplica al final por la derivada de la función argumento f(x).

Estrategia para derivar funciones compuestas

En ocasiones, derivar directamente una función compuesta es complicado, por lo que es conveniente que, mientras desarrollas la habilidad necesaria para derivar de manera directa, realices el siguiente proceso:

1. Identifica qué fórmula vas a utilizar para derivar la función compuesta. Tenemos cinco tipos de funciones: potencia, logaritmo natural, exponencial base e, exponencial base aytrigonométricas; la fórmula que vas a utilizar depende de la forma general que tiene la función que te piden derivar.

2. Identifica la función argumento f(x); la fórmula que seleccionaste en el paso anterior te ayuda en este proceso. Por ejemplo, en la fórmula 2, f(x) es la función que está acompañando al logaritmo natural; en la fórmula 4, f(x) es la función que aparece como exponente, y así sucesivamente. Deriva f(x) con la fórmula correspondiente.

3. Por último, utiliza la fórmula que identificaste en el primer paso y escribe la derivada de la función compuesta.

Ahora revisa aquí un ejemplo que complementa esta explicación.

Después de leer este tema, aprendiste a reconocer si una función es básica o compuesta, así como a determinar si es necesario o no aplicar alguna propiedad para derivar la función. Recuerda que esta es una estrategia más para obtener la derivada de una función, que es mucho más fácil y exacta, pues no nos da como resultado una estimación, como es el caso de la derivada por

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