Cantidad de movimiento angular de una partícula
Enviado por jochero • 8 de Mayo de 2014 • 1.881 Palabras (8 Páginas) • 401 Visitas
Cantidad de movimiento angular de una
partícula
El momento angular o momento cinético es una magnitud de gran importancia
en todas las teorías físicas de la mecánica, desde la mecánica clásica a la mecánica
cuántica, pasando por la mecánica relativista. Su importancia en todas ellas se
debe a que está relacionada con las simetrías rotacionales de los sistemas físicos.
Bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas es una magnitud
que se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, lo
cual da lugar a una ley de conservación conocida como ley de conservación del
momento angular. El momento angular para un cuerpo rígido que rota respecto
a un eje, es la resistencia que ofrece dicho cuerpo a la variación de la velocidad
angular. En el Sistema Internacional de Unidades el momento angular se mide en
kg •m2/s.
Esta magnitud desempeña respecto a las rotaciones un papel análogo al mo-
mento lineal en las traslaciones. Sin embargo, eso no implica que sea una magnitud
exclusiva de las rotaciones; por ejemplo, el momento angular de una partícula que
se mueve libremente con velocidad constante (en módulo y dirección) también se
conserva.
El nombre tradicional es momento cinético, pero por influencia del inglés an-
gular momentum hoy son frecuentes momento angular y otras variantes como
cantidad de movimiento angular o ímpetu angular.
Figura 2.1: El momento angular de una partícula con respecto al punto O es el pro-
ducto vectorial de su momento lineal por el vector de posición.
ITESCAM
MCT-1008
Dinámica
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2. Cinética de partículas
El momento angular de una partícula o masa puntual con respecto a un punto
O del espacio se define como el momento de su cantidad de movimiento ⇀
p con
respecto a ese punto. Normalmente se designa mediante el símbolo ⇀
L. Siendo ⇀
r el
vector que une el punto O con la posición de la masa puntual, será
⇀
L = ⇀
r × ⇀
p = ⇀
r × m⇀
v
El vector ⇀
L es perpendicular al plano que contiene ⇀
r y ⇀
v en la dirección indicada
por la regla del producto vectorial o regla de la mano derecha y su módulo o
intensidad es:
L = mrv sin θ = p r sin θ = p bp
esto es, el producto del módulo del momento lineal por su brazo (bp en el dibujo),
definido éste como la distancia del punto respecto al que se toma el momento a la
recta que contiene la velocidad de la partícula.
Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:
d
⇀
L
dt
=
d
dt
(⇀
r × ⇀
p) = (
d⇀
r
dt
× ⇀
p) + (⇀
r ×
d⇀
p
dt )
El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de ⇀
r, con respecto al
tiempo no es otra cosa que la velocidad ⇀
v y, como el vector velocidad es paralelo
al vector cantidad de movimiento ⇀
p, el producto vectorial es cero. En cuanto al
segundo paréntesis, tenemos:
d
⇀
L
dt
= ⇀
r ×
d⇀
p
dt
= ⇀
r ×
d
dt
(m⇀
v) = ⇀
r × (m⇀
a)
donde ⇀
a es la aceleración de la partícula, de modo que m⇀
a =
⇀
F es la fuerza que
actúa sobre ella. Puesto que el producto vectorial de ⇀
r por la fuerza es el momento
o momento dinámico aplicado a la masa, tenemos:
d
⇀
L
dt
= ⇀
r ×
⇀
F =
⇀
M
Así, la derivada temporal del momento angular es igual al momento dinámico que actúa sobre la partícula. Hay que destacar que en esta expresión ambos momentos, ⇀
L y
⇀
M deberán estar referidos al mismo punto O
CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL
ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
DEFINICION DE SISTEMA DE PARTICULAS En mecánica consideramos un sistema de partículas como un conjunto de N puntos materiales que se mueven por separado, si bien interactúan entre sí y están sometidos a fuerzas externas. Cada una de las partículas del sistema posee una masa propia, mi, siendo un índice que sirve para etiquetar individualmente cada una de las partículas. la partícula i está caracterizada por una posición y una velocidad . Esta posición y esta velocidad evolucionan de acurdo con las leyes de la dinámica siendo la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula i. Esta resultante se compone de las fuerzas que cada una de las demás partículas del sistema ejerce sobre i, más la resultante de las fuerzas externas aplicadas sobre ella
Este sumatorio representa la suma sobre las partículas restantes, esto es k va de 1 hasta N, excluyendo el caso k = i, ya que admitimos que una partícula no produce fuerza sobre sí misma (equivalentemente,). Suponemos que las interacciones entre las partículas obedecen la 3ª ley de Newtono, lo que es lo mismo
En la mayoría de los casos se cumplirá además que la fuerza que la partícula k ejerce sobre la i (y por tanto la que la i ejerce sobre la k) va en la dirección de la recta que une ambas partículas. Matemáticamente, esto se expresa imponiendo que el vector es paralelo a la posición relativa , esto es, si
Eliminando paréntesis y aplicando la tercera ley de Newton esto equivale a la condición
2. MOVIMIENTO LINEAL DE UN SISTEMA DE PARTICULAS El momento lineal de una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto de la masa por la velocidad p=mv Se define el vector fuerza, como la derivada del momento lineal respecto del tiempo
La segunda
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