LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE

FUNCIONES

Introducción

El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito.

Veamos un ejemplo: Consideremos la función dada por la grafica de la figura y fijémonos en el punto x =2 situado en el eje de abscisas:

¿Que ocurre cuando nos acercamos al punto 2 moviéndonos sobre el eje x? Tomemos algunos valores como 2’1, 2’01, 2’001.

Vemos en la figura que en este caso las imágenes de dichos puntos sobre la curva, f (2’1), f (2’01), f (2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y =3.

Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999 en este caso las imágenes f (1’9), f (1’99), f(1’999) se acercan también al mismo valor, y =3.

Concluimos que el límite de la función f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cual expresamos como:

Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el límite de una función en un punto es el valor en el eje Oy al que se acerca la función, f(x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto.

Sin embargo la expresión matemática rigurosa de límite es algo más compleja:

Definición: Dada una función f(x) y un punto x = a, se dice que el límite de f(x) cuando x se acerca a a es L, y se expresa como:

Cuando:

Dado € > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f(x) − L| < €

Lo que viene a expresar esta formulación matemática es que si x está “suficientemente cerca” de a, entonces su imagen f(x) también está muy próxima a L.

En la práctica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados límites laterales, que como recordaremos se definen de la siguiente forma:

Definición:

Se define el límite lateral por la derecha de a de la función f(x), y se expresa como:

Al límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a. De igual modo, el límite lateral por la izquierda de a de la función f(x) se expresa como:

Y se define como el límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a.

Propiedad: Para que una función f(x) tenga límite en x = a es necesario y suficiente que existan ambos límites laterales y coincidan, es decir:

Tipos de límites

Recordaremos algunos tipos de límites que son conocidos:

1. Limites infinitos en un punto finito: En la situación del dibujo, se dice que el límite cuando x se acerca por la derecha de a es +∞, pues a medida que la x se acerca a a, la función se hace cada vez mayor:

(De igual forma se puede definir cuando nos acercamos por la izquierda. Intenta hacer el dibujo). De igual modo se define el límite −∞ cuando nos acercamos a a (por la derecha o por la izquierda). (Dibuja el que falta)

Puede ocurrir que uno de los límites laterales sea finito y otro infinito, o cualquier combinación entre ellos, por ejemplo:

En la figura anterior se cumple que:

Y

2. Límites finitos en el infinito: Se dice que una función tiene límite b cuando x tiende a +∞ cuando la función se acerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir:

Gráficamente:

En este caso el límite es 2 cuando x tiende a +∞.

De igual modo se define el límite finito cuando x tiende a −∞.

3. Límites infinitos en el infinito: Aparece este caso cuando si x tiende a +∞ la función se hace cada vez mayor o menor (lo mismo si x tiende a −∞).

Un ejemplo grafico de este tipo de límites sería:

En este caso:

Cálculo de límites

Recordaremos, dada su importancia, algunas de las reglas para el cálculo de límites cuando se presentan diferentes indeterminaciones:

9.3.1. Límites en el infinito

1. Límites de polinomios: El límite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es +∞ o −∞, dependiendo del coeficiente del término de mayor grado del polinomio:

pues en el primer caso el coeficiente de x5 es positivo, y en el segundo caso el coeficiente de x7 es negativo.

2. Indeterminación: Si tenemos un cociente de polinomios nos encontraremos con una indeterminación de este tipo. Para resolverla basta recordar la siguiente regla:

Si tenemos:

Ejemplos:

a)

Porque el grado del numerador es mayor, pero los respectivos coeficientes de mayor grado tienen signo diferente.

b)

...