Actividad De Lectura n° 1

VARIABLES SEPARABLES

dy

g(x)

Se dice que una E.D. de la forma:

o de variables separables.

=

dx h(y)

es separable

La anterior ecuaci´on se puede escribir como h(y) dy = g(x) dx e integrando:

h(y) dy =

g(x) dx + C,

obteni´endose as´ı una familia uniparam´etrica de soluciones.

Nota: la constante o para´metro C, a veces es conveniente escribirla de otra manera, por ejemplo, mu´ltiplos de constantes o logaritmos de constantes o exponenciales de constantes o si aparece la suma de varias constantes re- unirlas en una sola constante.

Ejemplo 1. dy

= e3x+2y

Soluci´on:

dy = e3x+2y = e3x e2y

dx

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Separando variables

dy 3x

e integrando

e2y = e dx

La soluci´on general es

1 2y

− 2 e−

e3x

+ C =

e−2y

e3x

3

+ = C

3 2

Ejemplo 2. dy

= xy3(1 + x2 )− 2 , con y(0) = 1

Soluci´on: separando variables

y−3dy =

2

2x

dx

1 + x2

1 d(1 + x2 )

= √

.

haciendo

u = 1 + x2

2 1 + x2

du = 2xdx

Obtenemos

1 du

= √

2 u

1

e integrando

y−2

1 (1 + x2 ) 2

= + C

soluci´on general

−2 2 1

1 √ 2

− 2y2 =

1 + x

+ C.

Cuando x = 0, y = 1

1 √ 2

− 2 × 1 =

1 + 0 + C

luego C = −3

La soluci´on particular es

−1

2y2 =

√1 + x2 3

...