Control Digital

PROYECTO FINAL

CONTROL DIGITAL

DIEGO FERNANDO SANDOYA

TUTOR

JUAN CLIMACO PINILLA OSPITIA

CODIGO 299006_48

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

TECNOLOGIA EN ELECTRONICA

CEAD – ACACIAS

2014

INTRODUCCION

Para desarrollar un control digital que represente de forma acertada un sistema físico, es indispensable profundizar en aquellas áreas de las ciencias que brindan las herramientas necesarias para su construcción. Luego de tener el modelo, se realizan tanto análisis cuantitativos y cualitativos para validar el modelo propuesto. Y por último poder identificar falencias que puedan ser mejoradas u optimizadas desde el modelo matemática y así finalmente poder implementarlos físicamente.

Para este caso en particular son empleados modelos que representan el sistema físico es función de transferencia. Con estos modelos se estudian diferentes casos donde, al hacer uso de las herramientas ofrecidas por la teoría de control se busca mejor el desempeño de dos sistemas físicos. Para lograr dichas mejoras se utilizan compensadores y controladores PID, para los dos casos propuestos respectivamente.

Actividad Teórica: La primera actividad está compuesta de una serie de ejercicios que deberán ser desarrollados de forma analítica por cada uno de los estudiantes del grupo colaborativo. Para el desarrollo de la primera actividad se propone el siguiente esquema de control:

Ejercicio 1: Suponga que la función de transferencia de la planta es:

Calcule la constante de error de posición Kp, el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento para la función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado.

Debemos primero hallar G(z)

G(z)=(1-z^(-1))Ζ{(G_p (s))/s}

G(z)=(1-z^(-1) )Ζ{(10/(s+1)(s+2) )/s}=(1-z^(-1) )Ζ{10/(s(s+1)(s+2))}

Se descompone en fracciones parciales el Segundo término para hallar su transformada Z

G(z)=(1-z^(-1) )Ζ{5/s-10/((s+1))+5/((s+2))}=(1-z^(-1) )(z/(z-1)-10z/(z-e^(-10t) )+5z/(z-e^(-5t) ))

Se debe recordar que Ts=0.1 s

G(z)=(z(22.4299-10.8731z)-10.8807)/((z-0.606531)(ez-1))

Tenemos la función de transferencia, pero sin tener en cuenta la realimentación por tanto debemos hallarla

G_w (z)=((z(22.4299-10.8731z)-10.8807)/((z-0.606531)(ez-1)))/(1+(z(22.4299-10.8731z)-10.8807)/((z-0.606531)(ez-1)))

G_w (z)=(Z(1.33333Z-2.75051)+1.3342)/(Z(Z-2.4257)+1.25989)

K_p=lim┬(z→1)⁡{(Z(1.33333Z-2.75051)+1.3342)/(Z(Z-2.4257)+1.25989)}=0.500452

Para el error en estado estacionario ante una entrada escalón

e_p=1/(1+k_p )=1/(1+0.500452)=0.6665

Para hallar el tiempo de establecimiento se toma la planta y se iguala con la ecuación general de segundo orden para hallar sus parámetros:

G_p (s)=10/(s+1)(s+2) =10/(s^2+3s+2)=(ω_n^2)/(s^2+2ζω_n+ω_n^2 )

G_p (s)=(ω_n^2)/(s^2+2ζω_n+ω_n^2 )=5*〖1.41〗^2/(s^2+2(1,06)(1,41)s+〖1,41〗^2 )

De lo anterior se puede deducir:

ω_n=1,41

ζ=1,06

Por lo cual para el establecimiento del 5%

t_s=3/(ζω_n )=2.0

Para el establecimiento del 2%

t_s=4/(ζω_n )=2.67

Diseñe un controlador PI digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobreimpulso máximo de 20% y un tiempo de establecimiento menor de 2 segundos. Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 0.1 segundos.

Para empezar se toma la función de transferencia pulso que ya se obtuvo:

G_w (z)=(Z(1.33333Z-2.75051)+1.3342)/(Z(Z-2.4257)+1.25989)

Se puede utilizar el método de cancelación de polos y ceros, para lo cual el controlador PI toma la forma:

Asumimos el error en estado estable de e_(ss=) 0.6665 por lo cual:

e_ss=1/k_v

k_v=1/e_ss =1.5

k_v=1/T lim┬(z→1)⁡〖(z-1)D(z) G_w (z)〗

1.5=1/T lim┬(z→1)⁡〖(z-1)([k_i T+〖2k〗_c ][z+(k_i T-〖2k〗_c)/(k_i T+〖2k〗_c )]*z(1.33333Z-2.75051)+1.3342)/(2(z-1)(z-1.6732)(z-0.753377))〗

Tomando el límite con T= 0.1 s:

1.5=1/0.1(-4.01803+0.853586 k_i)

k_i=4.88296

Si se asume que el cero del controlador cancela el polo z= 1.6732 de la planta se debe cumplir que:

(k_i T-〖2k〗_c)/(k_i T+〖2k〗_c )=-1.6732

(0.488296-〖2k〗_c)/(0.488296+〖2k〗_c )=-1.6732

k_c= -0.969484

Con los valores obtenidos se puede reemplazar en la formula inicial:

D(z)=([0.488296-1.938968][z+(0.488296+1.938968)/(0.488296-1.938968)])/(2(z-1))

D(z)= -(0.725336(z-1.6732))/(z-1)

Ejercicio 2: Suponga que la función de transferencia de la planta es:

Calcule la constante de error de velocidad Kv, el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario para la función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado; y el margen de fase para la función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo abierto.

k_v=1/T lim┬(z→1)⁡〖(z-1)HG(z)〗

HG(z)= (1-z^(-1) )Ζ{(1/(s(s+1)))/s}=(1-z^(-1) ) Z{1/s^2 +1/(s+1)-1/s}

HG(z)=(1-z^(-1) )(0.2z/(z-1)^2 +z/(z-e^(-0.2) )-z/(z-1))= (0.0187308(z+0.935525))/((z-1)(z-0.818731))

k_v=1/T lim┬(z→1)⁡〖(z-1)((0.0187308(z+0.935525))/((z-1)(z-0.818731)))〗

k_v=1/T lim┬(z→1)⁡〖(z-1)((0.0187308(z+0.935525))/((z-1)(z-0.818731)))〗=0.04

Para hallar el error en estado estacionario ante una entrada escalón debemos hallar primero la función de transferencia en lazo cerrado y el error de posición Kp

k_p=lim┬(z→1)⁡〖(((0.0187308(z+0.935525))/((z-1)(z-0.818731)))/(1+(0.0187308(z+0.935525))/((z-1)(z-0.818731))))=1〗

e_p=1/(1+k_p )=0.5

Diseñe

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