Graficar Funciones Racionales

Graficar Funciones Racionales

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Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

• Comprender el comportamiento de la gráfica de funciones racionales cerca de las raíces.

• Comprender el comportamiento de la gráfica de funciones racionales cerca de las asíntotas.

• Explicar el comportamiento a largo plazo de las funciones racionales.

• Graficar una función racional.

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Comportamiento de la gráfica de una función racional cerca de las raíces.

En la lección de funciones racionales y sus raíces vimos que la raíz de una función racional f x = P(x) Q(x) es el valor donde el numerador, P(x)=0.

Tal como sucede en el caso de las funciones polinomiales, el comportamiento de la gráfica de una función racional cerca de una raíz está condicionado por lamultiplicidad de dicha raíz.

Si una función racional tiene una raíz r de multiplicidad k, entonces:

La gráfica de la función cruza el eje x si k es impar.

La gráfica de la función toca el eje x pero no lo cruza, si k es par.

Ejemplo:

Las raíces de la función racional f x = x+63 x+24 x-42 x+1 son:

x=-6 (multiplicidad 3), x=-2 (multiplicidad 4) y x=4 (multiplicidad 2).

La gráfica de esta función es la siguiente:

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Comportamiento de la gráfica de una función racional cerca de las asíntotas

En la lección Funciones Racionales y sus Raíces hicimos una introducción al concepto de asíntotas. Vamos a revisar gráficamente estos ejemplos:

Ejemplo 1:

Considera la función f x = 1 x - 1 .

Vimos que la asíntota corresponde a las raíz del denominador y es la recta:

x-1 = 0 x = 1

La tabla que obtuvimos variando los valores de x acercándonos a la recta por la izquierda y por la derecha es la siguiente:

x 0.9 0.99 0.999 1.001 1.01 1.1

f(x) -10 -100 -1000 1000 100 10

Ambas figuras abajo corresponden a la función f x = 1 x - 1 , en la primera vemos la gráfica con valores de x hasta 4, en la segunda vemos cómo la gráfica se acerca a la asíntota para valores de x más grandes.

Cuando x se acerca a una asíntota x=a, la grafica de f se ve como la asintota.

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Ejemplo2:

Considera la función f x = 1 x-1 x-2 .

Vimos que las asíntotas corresponden a las raíces del denominador y son:

x - 1 = 0 x = 1 o x - 2 = 0 x = 2

Veamos cómo se comporta la función para valores de x cerca de la raíz del denominador x=1.

x 0.9 0.99 0.999 1.001 1.01 1.1

f(x) 9.090 99.010 999.001 -1001.001 -101.010 -11.111

Vemos que cuando x se acerca a 1 por la izquierda el valor de la función crece rápidamente. Cuando x se acerca a 1 por la derecha, el valor de la función decrece rápidamente

Veamos cómo se comporta la función para valores de x cerca de la raíz del denominador x=2.

x 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1

f(x) -11.111 -101.010 -1001.001 999.001 99.010 9.091

Vemos que cuando x se acerca a 2 por la izquierda el valor de la función decrece rápidamente. Cuando x se acerca a 2 por la derecha, el valor de la función crece rápidamente

Ambas figuras abajo corresponden a la función f x = 1 x - 1 , en la primera vemos la gráfica con valores de x hasta 4, en la segunda vemos cómo la gráfica se acerca a la asíntota para valores de x más grandes. Observa la gráfica de la función en los valores cercanos a x=1 y x=2.

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Comportamiento a largo plazo de una función racional

En la lección Graficar y Funciones Polinómicas vimos que cuando x se hace muy grande, el término principal domina a un polinomio. En una función racional f x= P(x) Q(x) , cuando x se hace muy grande, el término principal de P(x) domina el numerador y término principal de Q(x) domina el denominador.

Ejemplo 1:

La función racional f x = 2 x 2 + 3 x + 3 x 2 + 5 x + 1 se ve como g x = 2 x 2 x 2 = 2

En la figura puedes ver cómo la gráfica de la función racional se acerca a la recta y=2 cuando x se hace muy grande o muy pequeño:

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Ejemplo 2:

La función racional f x = x 2 + 1 x - 1 se ve como g x = x 2 x = x

En la figura puedes ver cómo la gráfica de la función racional se acerca a la recta y=x cuando x se hace muy grande o muy pequeño:

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