Los sistemas de ecuaciones lineales
Enviado por jesusperezM • 30 de Enero de 2014 • Informes • 1.250 Palabras (5 Páginas) • 249 Visitas
1. INTRODUCCIÓN.
Los antecedentes de los sistemas de ecuaciones lineales, se remontan a civilizaciones como
la Babilónica o la Egipcia, que utilizaban sistemas sencillos de dos incógnitas, quedando muestra de
ello en algunas tablillas babilónicas o papiros egipcios, que aun se conservan. También se sabe, que
en la antigua civilización griega, se resolvían sistemas de ecuaciones sencillos por métodos
geométricos, y que también aparecen sistemas de ecuaciones en documentos o libros de las antiguas
civilizaciones india y china.
Sin embargo y de forma mas rigurosa, parece ser que el estudio de los sistemas de
ecuaciones lineales fue iniciado por Leibnitz (1646-1716)., la solución de ecuaciones lineales
utilizando determinantes fue utilizado por MacLaurin (1698-1746), Cramer y Bezout, fueron
quienes demostraron que un sistema homogéneo cuadrado tiene solución si y solo si el determinante
del sistema se anula y D’Alembert (1717-1783) demostró que la solución general de un sistema de
ecuaciones, se obtiene sumando una solución particular a las soluciones del sistema.
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Definiciones básicas.
Un sistema de n ecuaciones lineales con m incógnitas en el cuerpo K ≡K ,,. es
un conjunto de m ecuaciones lineales de la forma
a11 x1a12 x 2…a1n xn=b1
a21 x1a22 x2…a2n xn=b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 2 . 1 )
an−11 x1an−12 x2…an−1 n xn=bn−1
an1 x1an2 x2…ann xn=bn
Donde, para cada i=1, 2,... ,m; j=1, 2,... ,m; aij ,b j ∈ K son constantes xi ∈ K son variables.
Un conjunto ordenado x1, x2,…, x n ∈ Kn , que verifique las ecuaciones (2.1) se
denomina solución del sistema. Los números aij se denominan coeficientes del sistema y los
números bi términos independientes.
Cuando para todo i=1,2 ,... ,n , bi=0 . se denomina sistema homogéneo.
A todo sistema homogéneo cuyos coeficientes coincidan con los coeficientes del sistema
(2.1), se denomina sistema homogéneo asociado al sistema de ecuaciones (2.1).
2
Ecuaciones Diofánticas. Discusión y resolución de ecuaciones lineales.
Teorema de Rouche. Regla de Cramer. Método de Gauss-Jordan
Decimos que un sistema de ecuaciones lineales es un sistema compatible si admite
alguna solución. En otro caso se denomina sistema incompatible.
Dado un sistema compatible, si la solución que admite es única se denomina sistema
compatible determinado y si admite más de una se denomina sistema compatible
indeterminado.
# Ejemplo.- Dados los sistemas de ecuaciones siguientes en el cuerpo de los números reales
(1) x + y = 1; (2) x + y = 1; (3) x + y = 0.
x - y = 1; 2 x + 2 y = 2; x + y = 2.
Tenemos que el sistema (1) es compatible determinado de solución (1,0).
El sistema (2) es compatible indeterminado de solución r ,1−r , r ∈ ℝ .
El sistema (3) es incompatible.
En el caso de que A≡A ,,. sea un anillo incluido en el cuerpo K, si para cada
i=1,2 , ... ,m; j=1,2 , ... ,m;aij , bi ∈ A , podemos definir el sistema en el anillo A, y en este caso
será compatible, si existe una solución x1, x2,…, x n ∈ An .
Interpretación vectorial.
Si consideramos la matiz A de coeficientes en un cuerpo K
A=a11 a12 .. . a1n
a21 a22 .. . a2n
. .. . . . .. . . ..
am1 am2 .. . amn
Podemos establecer la aplicación lineal (entre espacios vectoriales)
A:Kn→Km : X → A. X (producto matricial de A por el vector X)
Luego, si
X =x1
x2
...
xn∈ Kn
Será
A.X =Σ
j=1
n
a1j . x j ,Σ
j =1
n
a2j . x j , ... ,Σ
j =1
n
amj . x j
Luego, el sistema (2.1) lo podemos representar matricialmente como:
A.X =B ; A ∈ Kn ; B ∈ Km ; X ∈ Kn .
3
Ecuaciones Diofánticas. Discusión y resolución de ecuaciones lineales.
Teorema de Rouche. Regla de Cramer. Método de Gauss-Jordan
Y resolver el sistema (2.1) equivale a
dado un vector B=b1
b2
...
bn∈ Km encontrar un X =x1
x2
...
xn∈ Kn tal que A.X =B .
Dos sistemas de ecuaciones lineales A.X =B y C.Y=D son
...