3 TEOREMA 1. CONDICION NECESARIA DE OPTIMO

1.- Optimización sin restricciones

Planteamiento del problema:

Opt. f(x)

f: D  Rn  R

CONDICIÓN NECESARIA DE ÓPTIMO

*f(x*)=*

CONDICIÓN SUFICIENTE (2º orden) DE MÁXIMO LOCAL ESTRICTO

Hf(x*) DEFINIDA NEGATIVA

CONDICIÓN SUFICIENTE (2º orden) DE MÍNIMO LOCAL ESTRICTO

Hf(x*) DEFINIDA POSITIVA

MÉTODOS PARA LA DETERMINACIÓN DEL SIGNO DE UNA FORMA CUADRÁTICA NO RESTRINGIDA:

AUTOVALORES DE UNA MATRIZ A

(matrices simétricas)

Se trata de obtener las raíces de la ecuación característica: *A- * I*= 0

donde A es la matriz cuadrada de orden n, I es la matriz identidad de orden n.

DEFINIDAS

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE

DEFINIDA POSITIVA *i > 0, *i=1,...,n

DEFINIDA NEGATIVA *i < 0, *i=1,...,n

SEMIDEFINIDAS

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE

SEMIDEFINIDA POSITIVA *i*0, *i=1,...,n

con al menos un *j =0 y un *k>0 , 1*k,j*n

SEMIDEFINIDA NEGATIVA *i*0, *i=1,...,n

con al menos un *j =0 y un *k<0 , 1*k,j*n

INDEFINIDAS

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE

INDEFINIDA  *i > 0

 *j < 0

NULA

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE

NULA *i = 0, *i=1,...,n

MENORES PRINCIPALES CONDUCENTES DE A

(matrices simétricas)

Determinante de Orden 1: 1ªfila-1ªcolumna; A1=*a11*

Determinante de Orden 2: 2 primeras filas-2 primeras columnas

A2=

Determinante de Orden 3: 3 primeras filas-3 primeras columnas

A3=

...

DEFINIDAS

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE

DEFINIDA POSITIVA A1>0,A2>0,A3>0,...An>0

DEFINIDA NEGATIVA A1<0,A2>0,A3<0,A4>0,...

An>0 si n es par

An<0 si n es impar

SEMIDEFINIDAS

CONDICIÓN NECESARIA

*A*= 0

CONDICIÓN SUFICIENTE

SEMIDEFINIDA POSITIVA A1>0,A2>0,A3>0,...Ar>0

Ar+1= 0, ..., An=0

con r = rango(A)

SEMIDEFINIDA NEGATIVA

A1<0,A2>0,A3<0,A4>0,...

Ar>0 si n es par

Ar<0 si n es impar

Ar+1=0, ..., An=0

con r = rango(A)

NULA

A=  (matriz nula)

INDEFINIDAS

CONDICIONES SUFICIENTES

1.- Menor principal de orden par negativo. Otra C.S. :

2.- Determinante no nulo y no se verifica la CN y S de definida (ni DP ni DN)

2.- Optimización con restricciones

Planteamiento:

Opt. F(x)

s. a: hi(x)=bi , con i= 1, ..., m.

Las ecuaciones son funcionalmente independientes:

rg(Jh(x))=m para al menos un punto x  Dh,

siendo n>m , n= nº de variables, y m=nº de restricciones.

Para una función lagrangiana como ésta:

,

las condiciones de primer orden (necesarias) y las de segundo orden(suficientes), es decir, tras haber cumplido las de primer orden, son las siguientes, siempre que L(x,)C2 en (x*,*).

RESUMEN:

CONDICIÓN NECESARIA DE ÓPTIMO (primer orden)

*L(x*,**)=*

CONDICIÓN SUFICIENTE DE MÁXIMO LOCAL (2º orden)

HL(x*,**) DEFINIDA NEGATIVA

CONDICIÓN SUFICIENTE DE MÍNIMO LOCAL (2º orden)

HL(x*,**) DEFINIDA POSITIVA

C.S. DE EXTREMO LOCAL

(segundo orden)

METODOS PARA DETERMINAR EL SIGNO DE HL(x*, *)

METODO 1.- Menores orlados

La matriz hessiana de la función lagrangiana es:

Si las m primeras columnas de la matriz jacobiana de las restricciones en el punto crítico, Jh(x*), son L.I.(linealmente independientes: determinante distinto de cero) las condiciones planteadas actuarán como condición necesaria y suficiente.

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