Aritmética. Resumen Johana y Alexander

Resumen Johana y Alexander

La Aritmética es la parte de las matemáticas que se ocupa de estudiar las propiedades y

relaciones de los números naturales o, con un poco más de generalidad que no suele suponer

mayor dificultad, de los números enteros. La Aritmética más avanzada suele llamarse

Teoría de Números. En estas breves notas no podemos desarrollar de forma sistemática

toda esta rama de las matemáticas. Nos limitaremos a exponer algunas nociones básicas.

Uno de los conceptos fundamentales de la aritmética es el de divisibilidad. Dados dos

números enteros a y b, diremos que a divide a b si existe otro número entero c tal que b = ac. Cuando esto sucede suele escribirse a | b.  

Si a, b, c son números enteros, se cumplen las

siguientes propiedades:

(i) a | a; a | −a; si a | b y b | a, entonces a = b ´o a = −b; si a | b y b | c, entonces a | c.

(ii) a | 0; si a | b y b 6= 0, entonces |a| ≤ |b|.

(iii) Si a | b y a | c, entonces a | b + c y a | b − c. De forma más general, a | ub + vc para

cualesquiera enteros u, v.

Teoremas más relevantes

TEOREMA (Algoritmo de la división): Sean a y b números enteros con a > 0. Existen

dos ´únicos enteros c y r tales que b = ca + r y 0 ≤ r < a. Estos números se llaman,

respectivamente, cociente y resto de la división.

TEOREMA (Fundamental de la Aritmética): Sea b un numero natural. Entonces existen

números primos distintos p1, . . . , pt y números naturales e1, . . . , et tales que b = pe11. . . pett. Además los números pi y ei son ´únicos

TEOREMA (Identidad de Bozout): Sean a y b dos n´umeros coprimos. Entonces existen

enteros u, v tales que 1 = ua + vb.

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