Calculo De Derivadas

CÁLCULO DE DERIVADAS (II)

Derivada de un cociente de funciones

Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene que imponer la condición de que la función g no se anule en x.

Si en la segunda fracción se suma y se resta al numerador f(x) • g(x), se obtiene:

Sacando factor común g(x) en los dos primeros sumandos de la segunda fracción, y f(x) en los dos últimos,

Por último, se toman límites cuando h tiende a cero notando que:

En definitiva,

Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución:

Derivada de la función tg x

si f(x) = sen x, f ' (x) = cos x

si g(x) = cos x, g ' (x) = - sen x

Aplicando la fórmula de la derivada de un cociente,

Por tanto,

Derivada de la función sec x

Si f(x) = 1, f ' (x) = 0

Si g(x) = cos x, g ' (x) = - sen x

Por la fórmula de la derivada de un cociente,

(sec x)' = sec x • tg x

Derivada de la función cosec x

Si f(x) = 1, f ' (x) = 0

Si g(x) = sen x, g ' (x) = cos x

Por la derivada de un cociente,

(cosec x)' = - cosec x • cotg x

Derivada de la función cotg x

Si f(x) = cos x, f ' (x) = - sen x

Si g(x) = sen x, g ' (x) = cos x

Por tanto,

Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución:

Llamando f(x) = x cos x - 2,

f ' (x) = 1 • cos x + x • (- sen x) = cos x - x sen x

(la derivada de 2 es cero por ser una constante)

Si g(x) = x2, g ' (x) = 2 x

Resolución:

Si f(x) = x tg x - cos x,

f ' (x) = 1 • tg x + x (1 + tg2x) - (- sen x) = = tg x + x (1 + tg2x) + sen x

A pesar de contar ya con un número estimable de propiedades para el cálculo de derivadas, hay funciones elementales, como , para las que no se conoce ningún procedimiento para la obtención de su derivada. Para seguir avanzando por este camino se hace imprescindible conocer una de las propiedades más fundamentales y útiles de la derivación, aunque no se hará su demostración. Se la conoce como derivada de una función compuesta o regla de la cadena.

REGLA DE LA CADENA

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

entonces la función compuesta

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

Ejemplo: cálculo de derivadas

Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2.

Resolución:

La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2 y g(x) = sen x.

Al ser g(x) = sen x, g ' (x) = cos x,

por tanto g ' [ f(x) ] = cos f(x) = cos x2

Por la regla de la cadena,

h ' (x) = g ' [ f(x) ] • f ' (x) = 2x cos x2

Resolución:

De g(x) = x3, se deduce

g ' (x) = 3x2. En consecuencia,

Por la regla de la cadena,

...