Diseños Factoriales

EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K

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uchos experimentos se llevan a cabo para estudiar los efectos producidos por dos o más factores. Puede mostrarse que en general los diseños factoriales son los más eficientes para este tipo de experimentos. Por diseño factorial se entiende aquel en el que se investigan todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores en cada ensayo completo o réplica del experimento. Por ejemplo, si existen “a” niveles del factor A y “b” niveles del factor B, entonces cada réplica del experimento contiene todas las “ab” combinaciones de los tratamientos. A menudo, se dice que los factores están cruzados cuando éstos se arreglan en un diseño factorial.

El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta producida por un cambio en el nivel del factor. Con frecuencia, éste se conoce como efecto principal porque se refiere a los factores de interés primordial del experimento. Por ejemplo, consideremos los datos de la tabla 1. El efecto principal del factor A podría interpretarse como la diferencia entre la respuesta promedio en el primer y segundo nivel de ese factor. Numéricamente:

Tabla 1 Un experimento factorial

En otras palabras incrementar el factor A del nivel 1 al 2 produce un cambio en la respuesta promedio de 21 unidades. Similarmente, el efecto principal de B es:

Si los factores tienen más de dos niveles, el procedimiento anterior debe ser modificado ya que las diferencias entre las respuestas promedio pueden expresarse de muchas formas.

En algunos experimentos puede encontrarse que la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la misma en todos los niveles de los otros factores. Cuando esto ocurre existe una interacción entre los factores. Por ejemplo, considérense los datos de la Tabla 2.

Tabla 2. Un experimento factorial con interacción

En el primer nivel del factor B, el efecto de A es:

A = 50 - 20 = 30

Mientras que en el segundo nivel de B, el efecto de A es:

A = 12 - 40 = 28

Puede observarse que existe una interacción entre los factores A y B porque el efecto de A depende del nivel elegido de B.

Estas ideas pueden ilustrarse gráficamente. En la Fig. 1 se muestra una gráfica de la respuesta de los datos de la Tabla 1 contra los niveles del factor A para ambos niveles del factor B. Se observa que las rectas B1 y B2 son, aproximadamente, paralelas. Esto indica que no hay interacción entre los factores. De manera similar, en la Fig. 2 se presenta una gráfica de la respuesta de los datos de la Tabla 2.

Figura 1 Un experimento factorial sin interacciones

En este caso se ve que las rectas B1 y B2 no son paralelas. Esto muestra que existe una interacción entre A y B. Sin embargo, no debe ser la única técnica para analizar los datos, porque su interpretación es subjetiva y su apariencia, a menudo, es engañosa.

Figura 2 Un experimento factorial con interacciones

Hay que notar que cuando una interacción es grande los correspondientes efectos principales tienen poco significado práctico. Una estimación del efecto principal de A de los datos de la Tabla 2 es:

El cual resulta ser muy pequeño corriéndose el riesgo de concluir que no existe un efecto debido a A. Sin embargo, cuando se examinó el efecto de A en niveles diferentes de B se concluyó que éste no era el caso. El factor A tiene un efecto, pero depende del nivel del factor B. En otras palabras, es más útil conocer la interacción AB que el efecto principal. Una interacción significativa oculta a menudo el significado de los efectos principales.

Ventajas de los diseños factoriales

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as ventajas de los diseños factoriales pueden ilustrarse fácilmente. Supongamos que se tienen dos factores, A y B, cada uno con dos niveles. Estos niveles se representan mediante A1, A2, B1 y B1. La información acerca de ambos factores puede obtenerse variando un factor a la vez como aparece en la tabla 3. El efecto de variar el factor A está dada por A2B1 -A1B2. A causa de que existe error experimental, es conveniente realizar, por ejemplo, dos observaciones de cada combinación de tratamientos y hacer una estimación de los efectos de los factores usando las respuestas promedio. Por lo tanto, se requiere un total de seis observaciones.

Tabla 3 El método de un factor a la vez

Los diseños factoriales poseen algunas ventajas.

 Son más eficientes que los experimentos de un factor a la vez.

 Los diseños factoriales son necesarios cuando alguna interacción puede estar presente, para evitar hacer conclusiones engañosas.

 Los diseños factoriales permiten estimar los efectos de un factor en diversos niveles de los otros factores, produciendo conclusiones que son válidas sobre toda la extensión de las condiciones experimentales.

2. Diseño factorial de dos factores

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l primer diseño de la serie 22 es aquel en el que solo dos factores, A y B, cada uno con dos niveles. Este diseño se conoce como diseño factorial 22. Arbitrariamente, los niveles del factor pueden llamarse “bajo” y “alto”.

Ejemplo 1 Considérese una investigación llevada a cabo para estudiar el efecto que tiene la concentración de un reactivo y la presencia de un catalizador sobre el tiempo de reacción de un proceso químico. Sea la concentración del reactivo el factor A con dos niveles de interés, 15% y 20%. El catalizador constituye el factor B; el nivel alto o superior denota el uso de dos sacos de catalizador

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