Economía De Las Organizaciones

Obtener las estrategias puras de cada jugador, la forma normal del juego, los equilibrios de Nash y los equilibrios perfectos en subjuegos.

Nuestro trabajo está formado por dos juegos diferentes, y los vamos a analizar profundamente para llegar a su solución.

v Juego a)

El primero se trata de un juego con equilibrio de Nash perfecto en subjuegos.

Vamos a describir el juego:

Este es un juego simultáneo o estático ya que hay una nube de puntos que nos indica que los dos jugadores elijen sus decisiones de forma simultánea. Por otra parte, lo tenemos representado en forma de árbol y participan dos jugadores. Es, también, un juego simétrico ya que una vez sabemos lo que pasa con el jugador I, será lo mismo para el jugador II.

En cuanto a la información del juego, es imperfecta ya que un jugador (jugador II) puede observar lo que hace el otro y así decidir, pero en cambio hay otro jugador (el jugador I) que no puede observar lo que ha hecho el otro; simétrica ya que suponemos que los dos jugadores saben jugar de igual manera, es decir, no tienen información adicional; completa ya que es uno de los jugadores el que elije primero y no la naturaleza; y cierta porque el azar no interviene después de que haya decidido ningún jugador, de hecho no interviene en ningún momento.

Este análisis, nos sirve para cada uno de los subjuegos de este juego.

El primer subjuego sería:

Pagos (I, II)

Para empezar a analizar este juego, vamos a representarlo en la forma normal:

II)

I) c d

g 3, 1 0, 0

h 0, 0 1, 3

Pagos (I, II)

Habiendo terminado la representación de la forma normal, vamos a analizar las estrategias, si son fuertemente o débilmente dominantes o, si por el contrario, no hay.

En cuanto al jugador I, vemos que 3>0 pero 0<1, por tanto no hay ni equilibrio fuertemente dominante ni tampoco débilmente dominante.

Por lo que respecta al jugador II, vemos que 1>0 pero 0<3, por tanto tampoco hay equilibrio fuertemente dominante ni tampoco débilmente dominante.

Seguiremos con el análisis de las estrategias de Nash en puras:

- ¿Es (g, c) equilibrio de Nash en puras? “g” debe ser para el jugador I la mejor respuesta ante la decisión “c” del jugador II (3>0); y “c” debe ser para el jugador II la mejor respuesta ante la decisión “g” del jugador I (1>0). Como sí se cumplen estas condiciones, se trata de un equilibrio de Nash en puras.

- ¿Es (g, d) equilibrio de Nash en puras? “g” debe ser para el jugador I la mejor respuesta ante la decisión “d” del jugador II (0>1àNo); y “d” debe ser para el jugador II la mejor respuesta ante la decisión “g” del jugador I (0>1àNo). Como no se cumplen estas condiciones, no será equilibrio de Nash en puras.

- ¿Es (h, c) equilibrio de Nash en puras? “h” debe ser para el jugador I la mejor respuesta ante la decisión “c” del jugador II (0>3àNo); y “c” debe ser para el jugador II la mejor respuesta ante la decisión “h” del jugador I (0>3àNo). Como tampoco se cumplen dichas condiciones no es un equilibrio de Nash en puras.

- ¿Es (h, d) equilibrio de Nash en puras? “h” debe ser para el jugador I la mejor respuesta ante la decisión “d” del jugador II (1>0); y “d” debe ser para el jugador II la mejor respuesta ante la decisión “h” del jugador I (3>0). Sí se cumplen dichas condiciones, por tanto será un equilibrio de Nash en puras.

Por tanto, el equilibrio de Nash en estrategias puras será:

ENEP = {g, c}, {h, d} à (3,1), (1,3)

Sin embargo, no hay ningún criterio para saber cual es preferida por tanto pasaremos a analizar el equilibrio de Nash en estrategias mixtas. Así, supondremos que:

α = probabilidad que el jugador I elija “g”.

1- α = probabilidad que el jugador I elija “h”.

β = probabilidad que el jugador II elija “c”.

β = probabilidad que el jugador II elija “d”.

Con todo esto, vamos a encontrar el pago esperado de los dos jugadores.

EΠI = α [3β + 0(1-β)] + (1-α) [0β + 1(1-β)]

EΠII = β [1α + 0(1-α)] + (1-β) [0α + 3(1-α)]

3β + 0 – 0 - 1 + β = 0 à 4β = 1 à β = 1/4

Y por tanto, 1-β = 3/4

α + 0 – 0 – 3 + 3α = 0 à 4α = 3 à α = 3/4

Y por tanto, 1-α = 1/4

Y con esto llegamos a que nuestro equilibrio de Nash en estrategias mixtas es:

ENEM = [(3/4, 1/4), (1/4, 3/4)]à(3/4), (3/4)

Siguiendo, vamos a calcular el pago esperado de este ENEM:

EΠI = 3/4 [3(1/4) + 0] + (1/4) [0 + 1(3/4)] =

=(3/4) (3/4) + (1/4) (3/4) = 9/16 + 3/16 = 12/16 = 3/4

EΠII = 1/4[3/4 + 0] + (3/4) [0 + 3(1/4)] =

=(1/4) (3/4) + (3/4) (3/4) = 3/16 + 9/16 = 12/16 = 3/4

Para terminar con esta parte del subjuego, vamos a ver que resultado es más probable:

- Pr (g, c) = 3/4 x 1/4 = 3/16

- Pr (g, d) = 3/4 x 3/4 = 9/16

- Pr (h, c) = 1/4 x 1/4 = 1/16

- Pr (h, d) = 1/4 x 3/4 = 3/16

Por tanto, vemos que el resultado más probable es el (g, d) con una probabilidad de 9/16.

El segundo subjuego seria:

Pagos (I, II)

También en este caso lo

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