Elemento De Un Conjunto

Elemento de un conjunto

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En teoría de conjuntos, un elemento o miembro de un conjunto (o familia de conjuntos) es un objeto atómico que forma parte de ese conjunto (o familia).

Contenido

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• 1 Teoría de conjuntos y elementos

• 2 Notación

• 3 Cardinalidad de conjuntos

• 4 Ejemplos

• 5 Notas

• 6 Referencias

[editar] Teoría de conjuntos y elementos

Diferencia entre elemento y subconjunto. El conjunto C está formado por dos elementos. El conjunto A está formado por cinco elementos (cinco figuras geométricas), y C, señalado con línea discontinua, es un subconjunto de A, C ⊆ A. El conjunto B, por el contrario, está formado por cuatro elementos: tres figuras geométricas y un conjunto, a saber, C. Por tanto, C, señalado con línea continua, es un elemento de B, C ∈ B.

Al escribir A = {1,2,3,4}, estamos diciendo que los elementos del conjunto A son los números 1, 2, 3 y 4. Un grupo de elementos de A sería, por ejemplo, {1,2}, el cual es un subconjunto de A.

Los elementos pueden ser conjuntos en sí mismos. Por ejemplo, consideremos el conjunto B = {1,2,{3,4}}. Los elementos de B no son 1, 2, 3, y 4; en efecto, B tiene sólo tres elementos: 1, 2 y el conjunto {3,4}.

Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa. Por ejemplo, C = {rojo, verde, azul}, es el conjunto cuyos elementos son los colores rojo, verde y azul.

[editar] Notación

La relación "es un elemento de", también llamada miembro del conjunto, se denota mediante el símbolo ., y al escribir

estamos diciendo que x es un elemento de A. Equivalentemente, podemos decir o escribir "x es un miembro de A", "x pertenece a A", "x es en A", "x reside en A", "A incluye x", o "A contiene x". La negación de este símbolo se denota .

Desafortunadamente, los términos "A incluye x" y "A contiene x" son ambiguos, porque algunos autores también los usan para referirse a que "x es un subconjunto de A".1 El lógico George Boolos es enfático al aclarar que la palabra "contiene" debe usarse sólo para pertenencia de elementos, e "incluye" sólo para relaciones de subconjuntos2

[editar] Cardinalidad de conjuntos

El número de elementos en un conjunto particular es una propiedad conocida como cardinalidad, que informalmente se conoce como el tamaño de un conjunto. Para los ejemplos anteriores, la cardinalidad del conjunto A es 4, mientras que la de B y C es 3. Un conjunto finito es aquel con un número finito de elementos, mientras que uno infinito, uno con una cantidad infinita de elementos. Los ejemplos de arriba son todos de conjuntos finitos. Un ejemplo de conjunto infinito es el conjunto de los números naturales, .

[editar] Ejemplos

Usando los conjuntos definidos arriba:

podemos decir que:

• 2 ∈ B

• {3,4} ∈ B

• 3 ∈ {3,4}

• ∅ ⊂ B

• { } ⊂ B

• {2} ⊂ B

• {1,2} ⊂ B

• amarillo ∉ B

• 8 ∉ B

• card(B) = 3

• card({3,4}) = 2

• La cardinalidad de D = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } es finita e igual a 6.

• La cardinalidad de P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13... } (los números primos) es infinita.

Álgebra de conjuntos

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En matemáticas, se denomina álgebra de conjuntos a las operaciones básicas que pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección, etc.

Contenido

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• 1 Conjuntos

• 2 Operaciones con conjuntos

• 3 Referencias

• 4 Véase también

• 5 Enlaces externos

[editar] Conjuntos

Artículo principal: Conjunto

Operaciones con conjuntos

Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Un conjunto está definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo representa.

Existe una serie de relaciones básicas entre conjuntos y sus elementos:

• Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia. Dado un elemento x, esté puede o no pertenecer a un conjunto dado A. Esto se indica como x ∈ A.

• Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto queda definido únicamento por sus elementos.

• Inclusión. Dado un conjunto A, cualquier subcolección B de sus elementos es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

[editar] Operaciones con conjuntos

Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B.

• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A.

• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer (segundo) elemento pertenece a A (a B).

Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con números. Por ejemplo, la unión y la intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de la intersección y el producto cartesiano. El conjunto universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión.

Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las operaciones en un álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional.

RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL

Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional.

Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A,B ... los conjuntos y

por las correspondientes minúsculas a,b ... sus propiedades características

(es decir, la proposición lógica

...