Esperanza Matematica

ESPERANZA MATEMÁTICA

La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

La esperanza matemática de una función g(X) está dada por

Donde f(X) es, respectivamente, la función de probabilidad o la función densidad de probabilidad y g(X) es cualquier función de valores reales que está definida para todos los valores posibles de X.

Ejemplo: La probabilidad de que una casa de cierto tipo quede destruida por un incendio en cualquier período de doce meses es de 0.005. Una compañía de seguros ofrece al propietario una póliza de seguros contra incendio por $20,000.00 (dólares) a un año con una prima de $150.00 dólares. ¿Cuál es la ganancia esperada de la compañía?

Solución: Sea S = {se incendie, no se incendie}, el espacio muestral, La variable aleatoria asociada es X = {0,1}, donde 0 significa que se incendie y 1 que no se incendie (estos valores son arbitrarios). g(X) representa la ganancia de la compañía por cada casa asegurada (sin tomar en cuenta gastos). La situación se explica mejor en una tabla.

Evento X g(X) f(X)

Se incendie 0 -$19,850.00 0.005

No se incendie 1 +$150.00 0.995

En caso de que la compañía asegure 20,000 casas, su ganancia esperada sería de $1, 000,000.00 (sin tomar en cuenta gastos).

Propiedades de la esperanza matemática

1. Esperanza de una función de una variable aleatoria

o Variable discreta

o Variable continua

2. Linealidad de la esperanza matemática

o E(X + Y) = E(X) + E(Y)

o E(k • X) = k • E(X) para todo número real k.

o E(k) = k para todo número real k.

o E(a • X + b) = a • E(X) + b para todo par de números reales a y b.

• Esperanza del producto

o E(X • Y) = E(X) • E (Y) únicamente en el caso de que X e Y sean variables aleatorias independientes.

EJERCICIOS DE ESPERANZA MATEMÁTICA

1. Dada la experiencia aleatoria de anotar las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado, calcular:

La función de probabilidad y su representación

La función de distribución y su representación

2. Sabiendo que p(X ≤ 2) = 0.7 y p(X ≥ 2) = 0.75. Hallar la esperanza matemática, la varianza y la desviación típica

3. Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable

4. Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza

5. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego

6. Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

μ = 5000 • 0.001 + 2000 • 0.003 = 11 €

VARIANZA

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