Induccion Matematica

Induccion Matematica

Principo de Inducción Matemática es actualmente una herramienta de uso práctico y teórico principalmente para matemáticos y personas que trabajan en Ciencias Computacionales.

En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

Premisa mayor: El número entero a tiene la propiedad P.

Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero n tenga la propiedad P implica que n + 1 también la tiene.

Conclusión: Todos los números enteros a partir de a tienen la propiedad P.

Principio de Inducción Matemática.

Si S en un conjunto de enteros positivos tal que

(B) 1 e S

(I) k e S Þ (k+1) e S

entonces S contiene todos los enteros positivos.

En en principio de Inducción Matemática son muy importantes los nombres asociados y en la literatura técnica, como es costumbre, no se presenta con detalle los pasos, por lo que resulta indispensable conocer la nomenclatura.

Nomenclatura de Inducción Matemática.

(B) se llama Caso Base o caso inicial

(I) se llama Paso de Inducción

k e S se llama Hipótesis de Inducción

Y como ya se mencionó todo junto se llama Principio de Inducción Matemática.

Es importante que el alumno comprenda y memorice cada uno de estos conceptos y su participación directa en la propiedad.

Escencialmente lo que enuncia el principio de inducción matemática es, si logramos establecer que el primer entero positivo cumple, una propiedad, y si partiendo de que un entero arbitrario también la cumple, se puede comprobar que el entero siguiente también tiene la propiedad entonces concluimos que todos los enteros positivos tienen la propiedad indicada.

Por lo que otra forma de enunciar el Principio de Inducción Matemática es:

Si F(n) es una proposición abierta que involucra enteros y se tiene (B) F(1) es verdadera; o sea, se que cumple para n=1 (I) F(K) Þ F(k+1); Si se cumple para n = k entonces también se cumple para n=k+1.

Concluimos que la proposición es verdadera para todos los enteros positivos.

El Principio de Inducción Matemática se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas, usualmente en el conjunto de los números enteros positivos. Muchas propiedades que incluyen la definición de de factorial se pueden probar por Inducción Matemática, como el Teorema del Binomio de Newton, el Triángulo de Pascal y algunas propiedades de combinatoria que involucran combinaciones y permutaciones. Otra forma de utilizarla es para proporcionar definiciones y formalizar conceptos.

Sumas y productos:

Demostracion por inducción:

Formula 1:

Formula 2:

La suma de los cuadrados de los n primeros números naturales (S n2) es igual a:

¿Tenemos Un conjunto? Sí, los números naturales.

¿La propiedad puede expresarse en una fórmula? Si, la de la cuestión

- Hacer tres verificaciones:

1ª Que la propiedad la cumpla el primer elemento del conjunto.

Si en la fórmula sustituimos n por 1 resultaría:

1(1 + 1)(2 x 1 + 1)

----------------------- = S 12 = 12 = 1

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2ª Que la cumpla un elemento cualquiera bien por comprobación o suposición. A tal elemento es usual denominarlo elemento h.

Supongamos que lo cumple para el elemento h se escribiría así:

h(h + 1)(2h + 1)

-------------------- = Sh2 = 12 + 22 + 32 +.......+ h2

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